结论：公司能否在签订劳务合同（此处应理解为劳动合同，因劳务合同与劳动合同在法律上有显著区别，通常我们讨论的是劳动合同的解除问题）后开除员工，取决于是否符合法律规定的条件和程序。

详细分析：

1. 合法解除且无需支付经济补偿的情形：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，公司在以下情况下可以解除劳动合同且无需支付经济补偿：
     • 劳动者在试用期间被证明不符合录用条件；
     • 劳动者严重违反用人单位的规章制度；
     • 劳动者严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
     • 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或经用人单位提出拒不改正；
     • 劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，导致合同无效；
     • 劳动者被依法追究刑事责任。

2. 合法解除但需支付经济补偿的情形：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条、第四十一条，公司在以下情况下可以解除劳动合同，但需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付劳动者一个月工资，并需支付经济补偿：
     • 劳动者患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作；
     • 劳动者不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任；
     • 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且经用人单位与劳动者协商未能就变更合同内容达成协议；
     • 公司因经济性原因需要裁员，如企业破产重整、生产经营发生严重困难等。

3. 违法解除需支付赔偿金的情形：

   • 如果公司违反《中华人民共和国劳动合同法》的规定解除或终止劳动合同，如没有任何合法理由随意辞退员工，劳动者有权要求继续履行合同。若劳动者不要求继续履行或合同已无法继续履行，公司应依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

法律建议：

• 对于公司：在解除劳动合同时，必须确保符合法定情形，并按照规定程序进行操作。同时，公司也应建立健全的内部管理制度，确保劳动合同的合法性和有效性，避免不必要的法律纠纷。
• 对于劳动者：在面临被解雇的情况时，应及时了解自己的权益，如是否属于合法解除、是否应获得经济补偿或赔偿金等。必要时，可寻求法律援助或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

举例说明：

• 假设某员工因严重违反公司规章制度被开除，且该规章制度已经过合法程序制定并向员工公示，那么公司可以合法解除劳动合同且无需支付经济补偿。
• 假设某员工因患病医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作，那么公司在提前三十日以书面形式通知该员工或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同，但需支付经济补偿。

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