公司不可以随便开除员工。公司在与员工签订劳动合同后，必须依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定来解除劳动合同。以下是对此问题的详细分析：

1. 合法解除且无需支付经济补偿：

   • 在特定情形下，如劳动者在试用期间被证明不符合录用条件、严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等，公司可以依据《劳动合同法》第三十九条的规定，解除劳动合同且无需向劳动者支付经济补偿。

2. 合法解除但需支付经济补偿：

   • 在其他情形下，如劳动者患病或非因工负伤不能从事原工作、不能胜任工作经过培训或调整后仍不能胜任、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化无法履行等，公司需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同，并需向劳动者支付经济补偿（依据《劳动合同法》第四十条、第四十一条）。

3. 违法解除需支付赔偿金：

   • 如果公司违反《劳动合同法》的规定解除或终止劳动合同，如无任何合法理由随意辞退员工，劳动者有权要求继续履行合同。若劳动者不要求继续履行或合同已无法继续履行，公司应依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金（依据《劳动合同法》相关规定）。

综上所述，公司在与员工签订劳动合同后，不能随意开除员工，而必须基于法定的理由，并严格遵循法定的程序。如需解除劳动合同，应确保符合法定情形，并按照规定程序进行操作，否则可能面临支付经济补偿或赔偿金的风险。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问，我会为您提供专业的法律帮助。