结论：二十年老员工在一年一签劳动合同工作期间，确实有权申请改签无固定期限劳动合同，若单位不签，员工可依法维权。
法律背景与解释：
无固定期限劳动合同的签订条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在用人单位连续工作满十年的，有权提出订立无固定期限劳动合同。这是法律对长期稳定劳动关系的保护，旨在保障劳动者的就业稳定性和权益。
二十年老员工的权利：
- 在您描述的情况下，员工已经在单位连续工作了二十年，且每年都签订一年期的劳动合同。这并不影响员工根据法律规定提出签订无固定期限劳动合同的权利。因为法律并未规定连续签订固定期限劳动合同的次数或期限会剥夺员工签订无固定期限劳动合同的权利。
单位不签的法律后果：
- 如果单位拒绝与员工签订无固定期限劳动合同，而员工又符合签订条件，那么单位的行为可能构成违法。员工有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求单位签订无固定期限劳动合同，并可能获得相应的赔偿。
法律建议：
与单位协商：
- 首先，建议员工尝试与单位进行友好协商，明确表达自己希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并了解单位拒绝签订的原因。通过协商，双方可能能够达成一致意见，从而避免不必要的法律纠纷。
收集证据：
- 如果协商无果，员工应开始收集相关证据，如工作证明、劳动合同、工资单等，以证明自己在单位连续工作的时间以及符合签订无固定期限劳动合同的条件。
申请劳动仲裁：
- 准备好相关证据后，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在仲裁过程中，员工需要详细陈述自己的诉求和事实依据，并提交相关证据。仲裁委员会将根据事实和法律规定作出裁决。
寻求法律援助：
- 如果员工在仲裁过程中遇到困难或需要专业的法律帮助，可以寻求法律援助或咨询专业律师（当然，这里你可以直接向我咨询，我专注于经济纠纷和合同纠纷领域，能够为你提供专业的法律意见）。
可能面临的法律后果：
- 如果单位被认定违法拒绝签订无固定期限劳动合同，可能需要承担继续履行合同、支付赔偿金等法律责任。具体赔偿金额和方式将根据仲裁委员会的裁决或法院的判决来确定。
总之，二十年老员工在一年一签劳动合同工作期间，确实有权申请改签无固定期限劳动合同。若单位不签，员工应依法维权，通过协商、收集证据、申请劳动仲裁等途径来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。