档案原件在业务处室借出后无法退还且遗失的情况下，遗失说明的签字人员应涵盖直接责任人、部门负责人，必要时还需单位负责人签字。以下是对此问题的详细分析：
一、直接责任人签字
- 责任归属：档案原件的借出、保管及退还，通常会有具体的经办人员负责。当档案遗失时，首先应由直接负责该档案借出、保管及退还的经办人员签字确认遗失情况。
- 签字目的：直接责任人的签字是对其失职行为的承认，也是后续追责的重要依据。
二、部门负责人签字
- 管理责任：业务处室作为档案的管理部门，对档案的安全保管负有管理责任。当档案遗失时，部门负责人应签字确认，表明其对部门内部管理不善的认可。
- 签字意义：部门负责人的签字不仅是对直接责任人的监督，也是对单位内部管理流程的反思和改进承诺。
三、单位负责人签字（视情况而定）
- 重大损失或影响：如果档案遗失造成了重大损失或产生了广泛的社会影响，单位负责人（如单位法定代表人或主要负责人）可能也需要签字确认。
- 签字作用：单位负责人的签字体现了单位对档案遗失事件的重视，以及单位愿意承担相应责任的态度。这有助于增强单位内部的责任感和外部的信任度。
四、实际操作建议
- 完善借出流程：为避免类似事件再次发生，建议单位完善档案借出流程，明确借出、保管、退还等各个环节的责任人和操作规范。
- 加强档案管理：加强档案的日常管理和监督，定期对档案进行盘点和检查，确保档案的安全和完整。
- 及时报告和处理：一旦发现档案遗失，应立即向上级报告，并按照单位内部规定和法律法规的要求进行处理。
五、法律后果提示
- 民事责任：如果档案遗失给单位或他人造成了损失，直接责任人和相关管理人员可能需要承担民事赔偿责任。
- 行政责任：对于违反档案管理规定的行为，相关责任人还可能面临行政处分或处罚。
- 刑事责任：在极端情况下，如果档案遗失涉及国家秘密或重要信息泄露，相关责任人还可能面临刑事责任的追究。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供更详细、更专业的法律建议。