可以申请经济补偿金，但具体补偿情况需根据实际用工关系和法律规定来确定。以下分情况详细说明：

1. 若4岁至16岁期间属于非法用工
   根据《劳动法》第十五条，禁止用人单位招用未满16周岁的未成年人（文艺、体育和特种工艺单位除外）。若公司在此阶段雇佣4岁儿童，属于非法用工，双方不构成合法劳动关系。此时被辞退，无法通过劳动法主张经济补偿金，但可依据《未成年人保护法》要求公司承担行政处罚责任（如罚款、责令改正），或通过民事途径主张人身损害赔偿（如因工作导致健康受损）。

2. 若16岁至53岁期间属于合法劳动关系
   自满16周岁起，若与公司建立合法劳动关系，则受《劳动合同法》保护。根据该法第四十六条，公司因以下原因辞退员工需支付经济补偿金：

   • 协商一致解除合同；
     
   • 公司提出解除合同且无合法理由（如不能胜任工作、客观情况重大变化等）；
     
   • 公司经济性裁员；
     
   • 合同期满公司不续签或降低条件导致员工不续签；
     
   • 公司被宣告破产、吊销营业执照等终止合同。
     补偿标准：按工作年限计算，每满1年支付1个月工资（6个月以上按1年算，不足6个月支付半个月工资）。若公司违法解除（如无合法理由单方辞退），需支付双倍经济补偿（即赔偿金）。

3. 若存在特殊用工关系（如劳务关系）
   若双方未签订劳动合同，但形成事实劳务关系（如退休返聘、非全日制用工等），则不适用《劳动合同法》的经济补偿规定，但可依据《民法典》合同编主张违约赔偿（如合同中有约定）。

行动建议：

• 收集证据：劳动合同、工资记录、辞退通知、工作证明等；
  
• 确认用工性质：若涉及非法用工，优先向劳动监察部门举报；
  
• 协商或仲裁：与公司协商补偿方案，或向劳动仲裁委申请仲裁（时效1年）；
  
• 咨询专业律师：若案情复杂（如涉及非法用工与合法用工交叉、赔偿计算争议等），可进一步向我咨询具体操作流程。