在父亲去世而母亲仍然健在的情况下，关于如何继承父亲名下的存款，这是一个涉及法律程序与家庭关系的重要问题。以下是我根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，为您提供的详细解答：
一、明确遗产范围与性质
首先，我们需要明确父亲去世后留下的存款哪些属于遗产。一般来说，父亲在婚姻期间积累的存款，若未特别约定，通常视为夫妻共同财产。这意味着，存款的一半自然归母亲所有，而另一半则作为父亲的遗产进行分配。如果存款是父亲婚前个人财产，或者有明确约定为父亲个人所有，那么这些存款将全部作为遗产。
二、确定继承方式
接下来，我们需要确定继承的方式。这主要取决于父亲生前是否立有合法有效的遗嘱：
遗嘱继承：如果父亲生前立有遗嘱，并明确安排了存款的继承，那么我们应该严格遵循遗嘱执行。遗嘱中指定的继承人将按照遗嘱的指示继承存款。
法定继承：如果父亲没有立遗嘱，或者遗嘱无效，那么我们将按照法定继承顺序进行继承。
三、法定继承顺序与份额
在法定继承的情况下，我们需要了解继承的顺序和份额：
继承顺序：第一顺序继承人包括配偶（即母亲）、子女、父母（如果仍在世）。第二顺序继承人包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母，但在第一顺序继承人存在的情况下，他们不参与继承。
继承份额：同一顺序的继承人原则上应该均等分配遗产。但是，如果存在特殊情况，比如某个继承人生活困难、缺乏劳动能力，或者对被继承人尽了主要扶养义务，那么他们可以适当多分一些遗产。相反，如果某个继承人不尽扶养义务，那么他们可能不分或者少分遗产。
四、办理继承手续
确定了继承人和继承份额后，我们需要办理相关的继承手续：
准备证明材料：包括父亲的死亡证明（由公安机关出具）和亲属关系证明（由单位、居委会或村委会出具）。
继承公证：前往公证处办理继承公证，以确认继承人的身份和遗产的范围。
银行手续：凭继承公证书、身份证等材料到银行办理存款的支取或转移手续。需要注意的是，部分银行对小额存款可能有简化流程，具体可以咨询相关银行。
五、特殊情况处理
如果在继承过程中遇到争议，比如继承人之间对存款的分配有分歧，那么我们可以首先尝试通过协商或调解来解决。如果无法协商一致，那么可以通过向人民法院提起诉讼来解决争议。法院将依法判决存款的分配方式。
综上所述，父亲去世而母亲健在的情况下，存款的继承需要明确遗产范围与性质、确定继承方式、了解法定继承顺序与份额、办理相关继承手续，并在遇到争议时通过法律途径解决。希望这个解答能够帮助您更好地理解和处理这个问题。