核心结论：针对您提出的事业单位无合同、无养老保险且劳动关系确认一年后失效的问题，需分情况处理，关键在于确认劳动关系是否存在及是否已过时效，具体如下：

1. 确认劳动关系是否存在

   • 事实劳动关系认定：根据《劳动合同法》及相关规定，即使未签订书面劳动合同，只要存在实际用工行为（如提供劳动、接受管理、支付工资等），即构成事实劳动关系。您可收集工资发放记录（银行流水、工资条）、工作证、考勤记录、同事证言、工作邮件或聊天记录等证据，证明与事业单位存在实际用工关系。
   • 养老保险补缴：若劳动关系成立，事业单位有义务为您补缴养老保险。根据《社会保险法》，用人单位未依法缴纳社保的，劳动者可向社保部门投诉，要求补缴。即使劳动关系确认已过时效，若证据充分，仍可能通过行政途径或诉讼要求补缴（但需注意社保补缴的时效限制可能因地区而异，需结合当地政策）。

2. 劳动关系确认时效问题

   • 劳动争议仲裁时效：根据《劳动争议调解仲裁法》，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道权利被侵害之日起计算。若您在劳动关系终止后一年内未申请仲裁确认劳动关系，可能面临时效届满的风险。但需注意：
     • 时效中断：若您在时效期间内向事业单位主张权利（如协商、投诉等），或事业单位承诺履行义务，时效可中断并重新计算。
     • 时效中止：若因不可抗力或其他正当理由（如患病、不可抗力事件等）无法申请仲裁，时效可中止，待中止事由消除后继续计算。
   • 诉讼时效：若仲裁时效届满，您仍可向法院起诉，但需承担时效届满的不利后果（如对方提出时效抗辩，法院可能驳回诉求）。但若您能证明存在时效中断或中止情形，或事业单位未提出时效抗辩，法院仍可能支持您的诉求。

3. 后续建议

   • 尽快收集证据：立即整理工资记录、工作证明等材料，证明劳动关系存在及持续期间。
   • 咨询社保部门：向当地社保局咨询养老保险补缴政策及流程，了解是否可单独补缴社保而不依赖劳动关系确认。
   • 申请劳动仲裁或起诉：若证据充分且时效未届满，尽快申请仲裁确认劳动关系并要求补缴社保；若时效已届满，可尝试与事业单位协商解决，或咨询律师评估诉讼风险后决定是否起诉。

总结：您需优先确认劳动关系是否存在，并收集证据证明实际用工情况。若劳动关系成立，即使确认时效已过，仍可能通过行政途径或诉讼要求补缴养老保险（需结合当地政策）。建议尽快行动，避免证据灭失或时效进一步届满。如有疑问，可直接向我咨询具体操作流程。