结论：单位可依据内部规章制度、新法规定以及公务员管理相关法律法规，结合具体情况对涉事公务员作出相应处理，常见处理方式包括纪律处分、岗位调整、培训教育等。以下为详细分析：

1. 依据单位内部规章制度处理
   • 公务员所在单位通常都有一套完善的内部规章制度，这些制度涵盖了公务员的行为规范、工作纪律、考核奖惩等多个方面。即使检察院不起诉且新法出台后该行为不涉犯罪，但如果公务员的行为违反了单位内部的相关规定，单位依然可以依据这些规章制度对其进行处理。
   • 例如，某单位规定公务员不得在工作期间从事与工作无关的营利性活动，若该公务员存在此类行为，即便不构成犯罪，单位也可以根据规定给予警告、记过等纪律处分。
2. 结合新法规定考量
   • 新法出台后明确该行为不涉犯罪，但可能对该行为作出了其他方面的规范或要求。单位可以结合新法的立法精神和具体规定，对公务员的行为进行重新审视和评估。
   • 如果新法强调了某种行为的不当性或者对公务员提出了更高的道德、职业要求，单位可以以此为依据，对涉事公务员进行教育、引导，督促其改正行为，提升职业素养。例如，新法加强了对公务员廉洁自律的要求，单位可以针对涉事公务员之前可能存在的轻微违规行为，开展廉政教育活动，强化其廉洁意识。
3. 依据公务员管理相关法律法规处理
   • 《中华人民共和国公务员法》等法律法规对公务员的权利、义务、纪律等方面作出了明确规定。单位在处理涉事公务员时，必须严格遵守这些法律法规的规定，确保处理程序的合法性和处理结果的公正性。
   • 根据公务员法的规定，公务员有违纪行为的，可以给予警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等处分。单位在作出处分决定前，应当听取公务员的陈述和申辩，按照规定进行调查核实，并将处分决定以书面形式通知公务员本人。例如，若公务员的行为严重违反了公务员法中关于工作纪律的规定，单位可以依法给予其相应的处分。
4. 考虑具体情况灵活处理
   • 在处理涉事公务员时，单位还需要充分考虑具体情况，如行为的性质、情节轻重、造成的后果以及公务员的一贯表现等。对于情节轻微、没有造成严重后果且公务员认错态度较好的，单位可以采取较为温和的处理方式，如批评教育、诫勉谈话等；对于情节严重、造成恶劣影响或者屡教不改的，单位则应依法依规给予较重的处分。
   • 例如，某公务员因疏忽大意导致工作出现轻微失误，检察院不起诉且新法不涉犯罪，单位可以对其进行批评教育，督促其改进工作方法；但如果该公务员多次出现类似失误，且对单位的正常工作造成了较大影响，单位则可以考虑给予其警告或记过处分。