核心前提：公职人员因涉嫌犯罪被检察机关作出法定不起诉决定后，需要明确其后续处理方式。

结论前置：

1. 法定不起诉的含义：法定不起诉，又称绝对不起诉，是指检察机关对具有《刑事诉讼法》第十六条规定情形之一的犯罪嫌疑人，无论其犯罪行为是否严重，都应当作出的不起诉决定。对于公职人员而言，这意味着其涉嫌的犯罪行为在法律上不被认定为需要追究刑事责任。

2. 公职人员的后续处理：

   • 行政纪律处分：虽然公职人员因法定不起诉而未被追究刑事责任，但这并不意味着其可以免受行政纪律处分。根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》等相关规定，公职人员涉嫌违法违纪的，即使未被追究刑事责任，也可能受到警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等政务处分。具体处分种类和幅度需根据违法违纪行为的性质、情节和危害程度等因素综合确定。

   • 职务调整或免职：在法定不起诉决定作出后，相关部门可能会根据公职人员的具体情况，对其职务进行调整或免职。这主要是为了维护公职人员队伍的形象和公信力，以及确保公职人员能够更好地履行职责。

   • 社会影响与声誉恢复：法定不起诉虽然意味着公职人员未被追究刑事责任，但其在涉嫌犯罪期间可能已经受到了一定的社会影响和声誉损害。因此，公职人员需要积极采取措施，如公开澄清事实、加强自我约束等，以恢复其社会形象和声誉。

3. 建议与注意事项：

   • 积极配合调查：在涉嫌犯罪期间，公职人员应积极配合相关部门的调查工作，如实陈述事实、提供证据等。这有助于相关部门更准确地了解案件情况，作出公正的处理决定。

   • 加强法律学习：公职人员应加强对法律法规的学习和理解，提高自身的法律素养和合规意识。这有助于避免再次发生类似涉嫌犯罪的行为，维护公职人员队伍的形象和公信力。

   • 寻求专业法律帮助：如果公职人员对法定不起诉后的处理方式存在疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。我将根据具体情况提供专业、详细的法律解答和建议。

综上所述，法定不起诉后公职人员的处理方式涉及行政纪律处分、职务调整或免职以及社会影响与声誉恢复等多个方面。公职人员应积极配合调查、加强法律学习，并在需要时寻求专业法律帮助。