当检察院作出不起诉决定后，如果犯罪嫌疑人再次犯罪，公安机关的处理方式会依据具体情况和法律规定来展开，以下是一个详细且有条理的解答：
一、检察院不起诉决定的类型及法律依据
首先，我们需要明确检察院不起诉决定的几种主要类型，这通常依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定：
- 法定不起诉：即犯罪嫌疑人没有犯罪事实，或存在不追究刑事责任的情形，如情节显著轻微、危害不大等。
- 酌定不起诉：犯罪情节较轻，依法无需判处刑罚或可免于刑罚。
- 证据不足不起诉：案件证据不足以支撑起诉条件。
二、公安机关对检察院不起诉决定的基本处理原则
在收到检察院的不起诉决定书后，公安机关需遵循以下基本原则：
立即释放被不起诉人：
- 对于被拘留、逮捕的犯罪嫌疑人，公安机关应立即释放，并发给释放证明，以保障其人身自由权利。
- 同时，解除对其采取的取保候审、监视居住等强制措施。
处理查封、扣押、冻结的财物：
- 对于侦查过程中查封、扣押、冻结的财物，若与案件无关，公安机关应在规定时间内（如3日内）解除相关措施，并退还当事人。
三、针对再犯情况的具体处理措施
如果检察院不起诉的犯罪嫌疑人再次犯罪，公安机关将采取以下措施：
重新立案侦查：
- 公安机关将根据新的犯罪事实和证据，重新立案进行侦查。
- 在侦查过程中，公安机关将依法收集证据，查明犯罪事实，确保案件处理的公正性和合法性。
采取强制措施：
- 根据犯罪嫌疑人的犯罪情节和可能判处刑罚的严重程度，公安机关将依法采取相应的强制措施，如拘留、逮捕等。
- 同时，对犯罪嫌疑人可能逃跑、自杀或者继续实施犯罪行为的，公安机关可以采取必要的防范措施。
对不起诉决定的异议处理（如适用）：
- 如果公安机关认为原不起诉决定存在错误，且该错误与再犯案件有关联，公安机关可以在重新立案侦查的同时，依法向检察院提出复议申请或提请复核。
- 但需注意，这一步骤并非针对再犯的直接处理措施，而是对原不起诉决定的异议处理。
四、特殊情况的处理
法定不起诉后的再犯：
- 如果原不起诉决定是法定不起诉，即犯罪嫌疑人原本就没有犯罪事实或存在不追究刑事责任的情形，但后来又实施了新的犯罪行为，公安机关将依法对新的犯罪行为进行立案侦查。
酌定不起诉或证据不足不起诉后的再犯：
- 对于酌定不起诉或证据不足不起诉的案件，如果犯罪嫌疑人再次犯罪，公安机关同样将依法立案侦查，并根据新的犯罪事实和证据进行处理。
五、总结与建议
严格依法办事：
- 公安机关在处理检察院不起诉后再犯的案件时，必须严格依照法律规定行事，确保案件处理的公正性和合法性。
加强沟通与协作：
- 公安机关应与检察院保持密切沟通与协作，共同确保案件的公正、合法处理。对于存在异议的不起诉决定，应及时提出复议或复核申请。
强化侦查与防范：
- 针对再犯案件，公安机关应加强侦查力度，迅速查明犯罪事实。同时，采取必要的防范措施，防止犯罪嫌疑人再次实施犯罪行为。
综上所述，当检察院作出不起诉决定后犯罪嫌疑人再次犯罪时，公安机关将依法重新立案侦查，并采取相应的强制措施和防范措施。在整个过程中，公安机关将严格遵循法律规定，确保案件处理的公正性和合法性。