合同教师在校外有偿补课的处理方式需结合具体情节及法律规定综合判断，核心结论如下：
若合同明确禁止校外有偿补课
根据《劳动合同法》第三十九条，若教师与学校签订的劳动合同中明确约定“禁止在校外从事有偿补课行为”，且教师违反该条款，学校有权单方解除劳动合同且无需支付经济补偿。
操作建议：学校应首先核查劳动合同条款，若存在明确禁止性规定，可依据《劳动合同法》及合同约定解除劳动关系，并保留教师违规补课的证据（如补课记录、学生或家长证言等）。
若合同未明确禁止但违反教育部门规定
根据《新时代中小学教师职业行为十项准则》第十条，教师不得组织、参与有偿补课，或为校外培训机构和他人介绍生源、提供相关信息。即使合同未约定，若教师行为违反该准则，学校可依据内部规章制度（如《教师职业道德规范》）进行处理，包括警告、记过、降低岗位等级直至解除合同。
操作建议：学校需先确认内部规章制度是否将“有偿补课”列为违规行为，并确保制度制定程序合法（如经教职工代表大会讨论通过）。若制度合法有效，可依规处罚；若制度未明确，则需谨慎处理，避免因程序瑕疵引发劳动争议。
若补课行为涉及违法犯罪
若教师补课内容存在传播淫秽物品、非法经营（如无证办学）等情形，可能触犯《刑法》第三百六十三条（传播淫秽物品罪）、第二百二十五条（非法经营罪）等条款。此时学校不仅可解除合同，还应及时向公安机关报案。
操作建议：学校发现此类情形后，应立即固定证据（如补课场所照片、视频、转账记录等），并配合公安机关调查，同时依据《劳动合同法》及内部规定解除合同。
若教师主张“补课为个人行为”
即使教师声称补课为个人行为，若其利用学校资源（如学生信息、教室等）或在学校工作时间外从事补课，仍可能被认定为“与职务相关”的行为，学校仍有权依据合同或规章制度处理。
操作建议：学校需证明教师补课行为与职务存在关联性（如补课学生为在校学生、补课时间与学校教学时间重叠等），以增强处理依据的合法性。
总结：合同教师校外有偿补课的处理需结合合同约定、教育部门规定及行为性质综合判断。学校应优先核查合同条款及内部规章制度，确保处理程序合法；若行为涉嫌违法犯罪，应及时报案并配合调查。如有进一步疑问，可直接向我咨询。