私人小厂在特定情况下是需要支付补偿金的，具体取决于离职的原因和是否符合相关法律法规的规定。以下是对这一问题的详细分析：
经济补偿金的支付条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，经济补偿金通常是在用人单位与劳动者解除或终止劳动合同时，用人单位依法向劳动者支付的一次性经济补偿。这主要发生在以下几种情况：
- 用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同；
- 用人单位因劳动者不能胜任工作、客观情况发生重大变化等原因，依法解除劳动合同；
- 劳动合同期满，用人单位不续签或降低劳动合同条件导致劳动者不续签的；
- 用人单位被依法宣告破产、被吊销营业执照、责令关闭、撤销或用人单位决定提前解散等情形导致劳动合同终止的。
- 若私人小厂与劳动者之间的解除或终止劳动合同的情形符合上述规定，那么小厂是需要支付经济补偿金的。经济补偿金的计算标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
特殊情况下的补偿：
- 工伤员工离职：如果劳动者在私人小厂工作期间发生工伤，并被鉴定为一定等级的伤残，那么在离职时，除了可能获得经济补偿金外，还有权获得一次性伤残就业补助金（具体根据伤残等级和当地规定确定）。这一补助金是由用人单位支付的，旨在帮助工伤员工在离职后更好地融入社会和生活。
- 违法解除或终止劳动合同：如果私人小厂违法解除或终止与劳动者的劳动合同，那么除了需要支付经济补偿金外，还可能需要支付赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍。
不支付补偿金的情形：
- 当然，也存在一些情况下私人小厂不需要支付补偿金。例如，如果劳动者主动提出离职，且不符合上述需要支付经济补偿金的情形，那么小厂通常不需要支付补偿金。另外，如果劳动者存在严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等情形，小厂在解除劳动合同时也不需要支付补偿金。
建议：
- 对于劳动者而言，如果认为自己符合获得补偿金的条件，但私人小厂拒绝支付，可以首先尝试与小厂进行协商解决。
- 如果协商无果，可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
- 在整个过程中，保留好相关证据（如劳动合同、工资条、工伤认定书等）是非常重要的，以便在需要时提供证明。
如有更多关于劳动工伤（工资福利）方面的疑问，可以直接向我咨询。