结论：私人小厂老板辞退员工是否有补偿，主要取决于辞退的合法性及具体情形。合法辞退时，可能需支付经济补偿；违法辞退时，则需支付双倍赔偿金；同时，也存在特定情形下无需支付任何补偿的情况。
一、合法辞退与经济补偿
经济补偿的标准：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，合法辞退员工时，应按员工在本单位工作的年限支付经济补偿。
- 具体标准为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。这里的月工资是指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，包括基本工资、奖金、津贴等。
合法辞退的情形：
- 例如，员工不能胜任工作，且经过培训或调整工作岗位后，仍不能胜任工作的，用人单位可以提前三十日以书面形式通知员工本人，或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同，并支付相应的经济补偿。
二、违法辞退与赔偿金
违法辞退的定义：
- 私人老板没有正当合法理由，随意解除与员工的劳动合同，即构成违法辞退。
赔偿金的计算：
- 违法辞退时，老板需按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
- 计算公式为：赔偿金 = 经济补偿标准 × 2 = (工作年限 × 月工资) × 2（其中，工作年限和月工资的计算方式同上）。
- 例如，员工在公司工作了3年，月工资为5000元，若被违法辞退，则老板需支付赔偿金为：3 × 5000 × 2 = 30000元。
三、无需支付补偿的情形
员工过错：
- 若员工严重违反用人单位的规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害，或者被依法追究刑事责任的，老板辞退员工时无需支付补偿。
劳动合同期满不续订：
- 劳动合同期满，老板维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，但员工不同意续订的，老板无需支付经济补偿。
享受基本养老保险待遇：
- 员工达到法定退休年龄并开始依法享受基本养老保险待遇时，劳动合同自然终止，老板无需支付补偿。
试用期不符合录用条件：
- 员工在试用期被证明不符合录用条件的，老板辞退员工同样无需支付补偿。
四、特殊群体的保护与补偿
- 对于孕期、产期、哺乳期的女职工，以及工伤或职业病员工，即使被合法辞退，也需特别注意相关法律规定，确保他们的权益得到保障。这些员工可能享有额外的保护或补偿，具体根据相关法律法规和政策执行。
五、建议与注意事项
了解辞退原因：员工应首先了解辞退的具体原因和法律依据，以便判断老板的辞退行为是否合法。
维护合法权益：如认为自己的权益受到侵害，员工可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
保存证据：员工应妥善保存劳动合同、工资流水、工作记录等相关证据，以便在需要时提供证明。
作为高岚律师，我建议你如果遇到私人小厂老板辞退的情况，先了解清楚辞退的原因和法律依据，再根据自己的实际情况判断是否需要寻求法律帮助。如果你有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。