针对您提出的“对方肇事逃逸轻微刮蹭应该怎么处理”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、对方肇事逃逸轻微刮蹭的法律责任
在发生轻微刮蹭事故后，若对方出于逃避法律追究的目的而逃跑，即构成轻微刮蹭肇事逃逸。此行为不仅违反了交通法规，还损害了您的合法权益。对方将面临行政处罚、驾驶证记分以及民事赔偿等多重法律责任。
二、行政处罚
罚款：根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，公安机关交通管理部门将处以二百元以上二千元以下罚款。具体罚款金额会根据逃逸情节的严重程度进行裁量。
拘留：在处以罚款的同时，对方还可能面临十五日以下拘留的处罚。公安机关交通管理部门会根据具体情节决定是否给予拘留处罚以及拘留的具体时长。
驾驶证扣分与吊销：对方还可能面临驾驶证扣6分的处罚（部分情况下可能扣12分，具体依据最新法规及情节严重程度），情节严重的甚至可能被吊销机动车驾驶证，丧失驾驶机动车的资格。
三、民事赔偿
责任承担：肇事逃逸方需承担此次事故的全部民事赔偿责任。这包括您车辆的维修费用、替代性交通工具费用等直接损失，以及因事故产生的其他合理费用。
赔偿范围：如果事故造成了您或他人受伤，逃逸方还需赔偿因此产生的全部医疗费用，包括但不限于治疗费、康复费、住院伙食补助费等，以及因误工减少的收入和必要的护理费用。
四、处理建议
立即报警：在发现对方肇事逃逸后，您应立即报警，并提供尽可能详细的车辆信息、逃逸方向等线索，以便警方迅速展开调查。
保护现场：在等待警方到来的过程中，您应保护好事故现场，不要随意移动车辆或破坏现场痕迹，以便警方进行事故认定和责任划分。
收集证据：如果可能的话，您可以拍摄事故现场的照片或视频，收集目击者的联系方式等证据，以便在后续处理中提供有力支持。
协商赔偿：在警方调查清楚事故责任后，您可以与对方协商赔偿事宜。如果协商不成，您有权向人民法院提起民事诉讼来维护自身权益。
五、总结与提醒
轻微刮蹭肇事逃逸行为将面临严厉的法律制裁和民事赔偿责任。因此，我建议您在遇到此类情况时，务必保持冷静，及时报警并保护好现场。同时，也提醒广大驾驶员在发生交通事故后，无论事故大小，都应立即停车、保护现场，并及时报警处理，以避免不必要的法律后果。