结论：单位是否还有责任，取决于开除行为的合法性及证据保留情况，与书面通知书上的入职时间错误和未写明具体开除时间关系不大，但这些瑕疵可能影响证据的证明力。5年后单位是否担责，需结合具体情况分析。

分析：

1. 开除行为的合法性：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同应当有合法依据，并遵循法定程序。如果开除行为本身违法（如无合法理由、未提前通知等），则单位需承担相应责任。
   • 书面通知书上的入职时间错误和未写明具体开除时间，并不直接决定开除行为的合法性。但这些瑕疵可能影响证据的完整性和证明力，使得在劳动争议仲裁或诉讼中，单位需要承担更多的举证责任。

2. 证据保留情况：

   • 劳动争议的时效期间通常为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。但某些情况下，如涉及连续侵权或持续状态，时效期间可能延长。
   • 5年后，如果劳动者能提供充分证据证明单位存在违法开除行为，且该行为持续存在或对其造成了持续影响，那么单位仍可能需承担责任。然而，随着时间的推移，证据的保留和收集可能变得困难。

3. 书面通知书的瑕疵影响：

   • 入职时间错误：如果入职时间错误不影响开除行为的实质合法性（如开除理由、程序等），则该错误可能不被视为重大瑕疵。但如果入职时间是确定劳动关系存续期间的关键证据，其错误可能导致对劳动关系存续期间的认定产生争议。
   • 未写明具体开除时间：这可能导致对开除行为具体时间的认定存在困难。在劳动争议中，开除时间可能影响时效期间的计算、工资支付、经济补偿等问题的处理。

4. 建议与措施：

   • 对于劳动者而言，如果认为单位存在违法开除行为，应尽快收集相关证据（如劳动合同、工资单、开除通知书、同事证言等），并在法定时效期间内提起劳动争议仲裁或诉讼。
   • 对于单位而言，应确保开除行为的合法性，并妥善保留相关证据。在出具书面通知书时，应确保信息的准确性和完整性，以避免不必要的法律纠纷。

后续行动建议：

• 如果你作为劳动者，认为单位存在违法开除行为，且该行为对你造成了损失，建议尽快咨询专业律师（即我，刘羽莎律师），以便更好地维护你的合法权益。
• 如果你作为单位代表，担心开除行为可能引发法律纠纷，也建议咨询专业律师，以确保开除行为的合法性和证据的充分性。

有问题可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。