公司不能仅因员工未完成公司安排的事情就随意开除员工。这一结论主要基于以下几点法律分析：
一、劳动合同的约定与履行
劳动合同的约束力：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同是劳动者与用人单位确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。双方均应按照劳动合同的约定履行各自的义务。若劳动合同中并未明确约定未完成特定任务即可解除劳动合同，那么公司单方面以此为由开除员工可能构成违法解除。
任务完成情况的评估：即使劳动合同中有相关约定，公司也需要对员工未完成任务的情况进行客观、公正的评估。如果员工未完成任务是由于公司提供的资源不足、任务本身不合理或其他非员工个人原因导致的，那么公司以此为由开除员工同样可能不合法。
二、公司规章制度的合法性
规章制度的制定程序：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四条，用人单位在制定、修改或者决定有关劳动报酬、工作时间、休息休假、劳动安全卫生、保险福利、职工培训、劳动纪律以及劳动定额管理等直接涉及劳动者切身利益的规章制度或者重大事项时，应当经职工代表大会或者全体职工讨论，提出方案和意见，与工会或者职工代表平等协商确定。如果公司未按照法定程序制定规章制度，或者规章制度中的内容违反法律、行政法规的规定，那么该规章制度对员工不具有约束力。
规章制度的适用：即使公司制定了合法的规章制度，并明确规定了未完成任务可以解除劳动合同的情形，也需要确保该规章制度的适用是公平、合理的。公司不能仅凭主观判断或片面证据就开除员工，而应当给予员工充分的解释和申辩机会。
三、违法解除的法律后果
如果公司违法解除劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，员工有权要求公司继续履行劳动合同或者支付赔偿金。赔偿金的计算标准通常为经济补偿标准的二倍，具体数额根据员工在公司的工作年限和工资水平确定。
四、建议与措施
与公司沟通：如果员工认为自己未完成任务的情况并不构成解除劳动合同的合法理由，可以首先尝试与公司进行沟通，说明情况并寻求解决方案。
申请劳动仲裁：如果沟通无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司撤销解除劳动合同的决定并支付相应的赔偿。
寻求法律援助：在劳动仲裁过程中，员工可以寻求专业律师的法律援助，以确保自己的合法权益得到充分保障。
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