结论前置：在私人老板手下打工手指断了，若符合一定条件可认定为工伤，赔偿方式根据是否参加工伤保险等情况有所不同。以下是具体分析：
工伤认定情况
- 存在劳动关系
- 如果私人老板依法登记注册取得了营业执照，具备用工主体资格，那么您与老板之间形成的是劳动关系。在这种情况下，在工作过程中手指断了，符合《工伤保险条例》中“在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害”的情形，应当认定为工伤。
- 若私人老板没有进行工商登记注册，不具备用工主体资格，但您与老板之间存在事实上的雇佣关系。根据相关司法解释，此时您在工作过程中受到伤害，可按照人身损害赔偿的相关规定来处理，不过在一些地方性规定中，也可能参照工伤的标准进行赔偿。例如某些地区规定，对于不具备用工主体资格的雇主雇佣的劳动者在工作中受伤，经劳动部门认定后，可参照工伤保险待遇给予赔偿。
- 非劳动关系但符合特定情形
- 如果您是临时为私人老板提供劳务，比如偶尔帮忙干活，这种情况下一般形成的是劳务关系。在劳务关系中，提供劳务一方因劳务自己受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。如果手指断了是由于老板提供的工具存在安全隐患、工作环境不安全或者老板指挥不当等老板的过错导致的，老板需要承担相应的赔偿责任；如果是您自身存在重大过失，比如违规操作等，那么您自身也需要承担一定的责任。
赔偿方式
- 参加工伤保险的情况
- 如果老板为您参加了工伤保险，那么在认定为工伤后，您可以享受工伤保险基金支付的以下待遇：
- 医疗费用：包括符合工伤保险诊疗项目目录、工伤保险药品目录、工伤保险住院服务标准的费用，由工伤保险基金支付。
- 康复费用：经劳动能力鉴定委员会确认，需要安装康复器具或者进行康复治疗的，相关费用由工伤保险基金承担。
- 停工留薪期工资：在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。停工留薪期一般不超过12个月，伤情严重或者情况特殊，经设区的市级劳动能力鉴定委员会确认，可以适当延长，但延长不得超过12个月。
- 护理费：生活不能自理的工伤职工在停工留薪期需要护理的，由所在单位负责；评定伤残后需要护理的，根据护理等级，由工伤保险基金按月支付生活护理费。
- 一次性伤残补助金：根据伤残等级，从工伤保险基金中支付一次性伤残补助金，标准为：一级伤残为27个月的本人工资，二级伤残为25个月的本人工资，三级伤残为23个月的本人工资，四级伤残为21个月的本人工资；五级伤残为18个月的本人工资，六级伤残为16个月的本人工资；七级伤残为13个月的本人工资，八级伤残为11个月的本人工资，九级伤残为9个月的本人工资，十级伤残为7个月的本人工资。
- 一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金：五级、六级伤残职工，经本人提出，可以与用人单位解除或者终止劳动关系，由工伤保险基金支付一次性工伤医疗补助金，由用人单位支付一次性伤残就业补助金；七级至十级伤残职工，劳动、聘用合同期满终止，或者职工本人提出解除劳动、聘用合同的，由工伤保险基金支付一次性工伤医疗补助金，由用人单位支付一次性伤残就业补助金。具体标准由省、自治区、直辖市人民政府规定。
- 未参加工伤保险的情况
- 如果老板没有为您参加工伤保险，那么所有的工伤赔偿费用都由老板承担。赔偿项目和标准与参加工伤保险的情况下基本相同，但资金来源不同。老板需要按照工伤保险待遇的标准向您支付医疗费用、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等各项费用。如果老板拒绝支付，您可以通过劳动仲裁或者诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。
- 劳务关系下的赔偿
- 在劳务关系中，如前面所述，根据双方各自的过错承担相应的责任。赔偿项目主要包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。如果造成残疾的，还可以要求赔偿残疾赔偿金、残疾辅助器具费等；造成死亡的，还可以要求赔偿丧葬费、死亡赔偿金等。具体赔偿金额根据实际情况和相关证据来确定。
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