当行政机关接到法定职责的请求却不作为时，您可以通过以下途径来维护自身权益或促使行政机关依法履职：
内部监督途径
向上级行政机关反映：
- 方式：您可以通过书信、电子邮件、电话等形式，向该行政机关的上级主管部门或本级人民政府详细反映问题，说明不履行职责的具体情况。
- 适用情形：适用于一般工作失误或轻微违法的不作为情况。例如，基层市场监管部门对商户的违规行为未及时处理，您作为消费者或相关利益方，可以向其上级部门反映。
行政复议：
- 方式：在知道具体行政行为之日起六十日内（法律另有规定的除外），您可以提出行政复议申请，提交复议申请书及相关证据材料。
- 适用情形：适用于行政机关明确拒绝履行职责或在法定期限内未作答复，且该不作为对您的合法权益造成实际损害的情况。例如，环保部门未在规定期限内答复您公开环境影响评价报告的申请，您可以申请行政复议。
外部监督途径
向监察机关举报：
- 方式：您可以通过监察机关的举报渠道（如电话、网站、来信来访等）进行举报，提供被举报部门及工作人员的基本情况和不履行职责的具体事实。
- 适用情形：涉及公职人员违法违纪行为的不作为。例如，税务部门工作人员故意拖延您的退税申请，可能存在违法违纪行为，您可以向监察机关举报。
向人民法院提起行政诉讼：
- 方式：您可以撰写行政起诉状，明确被告行政机关的信息、诉讼请求、事实和理由，并收集相关证据材料，向有管辖权的人民法院提起诉讼。
- 适用情形：当其他途径无法解决问题，且行政机关的不作为严重侵犯您的合法权益时。例如，规划部门无正当理由拒绝为您办理建设工程规划许可证，您可以提起行政诉讼。
借助社会力量
- 媒体曝光：
- 方式：您可以向报纸、电视台、网络媒体等反映行政机关不履行职责的情况，确保提供的信息真实准确。
- 适用情形：当行政机关不履行职责涉及公共利益，且其他途径效果不佳时。例如，地方政府对垃圾处理不及时导致环境污染，居民可以通过媒体曝光引起社会关注。
法律依据与证据收集：
- 法律依据：根据《行政诉讼法》等相关法律法规，公民、法人或其他组织有权要求行政机关履行法定职责，并在必要时提起行政诉讼。
- 证据收集：在采取任何措施前，您应尽可能收集相关证据，以证明行政机关确实存在不履行职责的行为。这些证据可能包括书面文件、电子邮件、录音录像、证人证言等。
在处理此类问题时，您还需注意以下几点：
- 保持冷静与理性：在处理与行政机关的纠纷时，保持冷静和理性至关重要。避免情绪化的行为，以免加剧矛盾或影响问题的解决。
- 注重证据收集与保存：证据是维护您权益的关键。在采取任何措施前，务必确保收集并保存好相关证据，以便在需要时提供证明。
- 及时咨询专业律师：虽然您可以自行采取上述措施，但在涉及复杂法律问题时，及时咨询专业律师将有助于您更好地维护自身权益。不过，在此我作为成忠昇律师，已经为您提供了全面的法律建议，若您还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。
综上所述，面对行政机关不履行职责的情况，您应首先尝试通过内部监督途径解决问题；若内部监督无效，则转向外部监督途径；在必要时，还可借助社会力量引起广泛关注。在整个过程中，保持冷静、理性，并注重证据的收集和保存，是维护自身权益的关键。