下班期间公司监管司机休息，这一行为是否违法需分情况讨论：
若监管行为未侵犯司机合法权益
- 公司在下班期间对司机进行一定程度的监管，如要求司机保持通讯畅通以便紧急调度，或要求司机在特定时间内返回工作岗位等，这些行为本身并不直接构成违法。关键在于这种监管是否合理，且未侵犯司机的休息权、隐私权等合法权益。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，劳动者享有休息休假的权利。但同时，劳动者也有义务遵守用人单位的合理规章制度。因此，只要监管行为合理且未侵犯司机合法权益，就不构成违法。
若监管行为侵犯司机合法权益
- 如果公司在下班期间对司机进行过度监管，如要求司机随时待命且不得离开公司指定范围，或强制司机参加与工作无关的培训、会议等，这些行为可能侵犯了司机的休息权、自由支配时间的权利等，从而构成违法。
- 具体情形：例如，公司要求司机在下班期间必须留在公司宿舍，不得外出，且未提供合理的补偿或安排调休，这就可能侵犯了司机的自由支配时间的权利。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动法》第三十八条，用人单位应当保证劳动者每周至少休息一日。同时，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位不得强迫或者变相强迫劳动者加班。因此，如果公司的监管行为实质上构成了强迫加班或侵犯了司机的休息权，就可能构成违法。
建议与后果：
- 对于公司而言，应合理制定规章制度，确保对司机的监管行为既符合工作需要，又不侵犯司机的合法权益。否则，可能面临劳动行政部门的处罚，以及因侵犯劳动者权益而引发的劳动争议和诉讼。
- 对于司机而言，如果认为公司的监管行为侵犯了自己的合法权益，可以与公司进行协商，要求公司改正。如果协商无果，可以向当地劳动行政部门投诉，或者依法申请劳动仲裁、提起诉讼。
总结：下班期间公司监管司机休息是否违法，取决于监管行为是否合理且未侵犯司机的合法权益。如果监管行为过度或不合理，可能构成违法。因此，公司在制定相关规章制度时，应充分考虑司机的合法权益，确保监管行为的合法性和合理性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。