结论前置：在续聘协议到期且老员工请病假的情况下，不再续聘的沟通应当遵循合法、合理、人性化的原则，既要确保公司决策的合法性，又要体现对员工的人文关怀。以下是具体建议：
明确法律依据与合同条款：
- 首先，需仔细审查续聘协议及原劳动合同中的相关条款，特别是关于合同期限、终止条件、病假待遇及续聘规定的内容。确保公司决定不再续聘的决策有明确的合同依据或法律依据，避免违法解除劳动合同的风险。
- 根据《劳动合同法》等相关法律法规，员工在医疗期内，用人单位一般不得解除劳动合同。但若合同到期且医疗期已满，或双方协商一致，可依法终止合同。
沟通前的准备：
- 收集信息：了解员工的病情、预计康复时间、已享受的医疗期等，以便在沟通时能提供更具体、个性化的信息。
- 制定沟通方案：根据员工的实际情况，准备一份详细的沟通提纲，包括不再续聘的原因、依据、后续安排（如经济补偿、职业指导等）以及公司对员工的感谢和祝福。
沟通方式与内容：
- 选择合适时机与方式：尽量选择员工情绪稳定、便于沟通的时间，通过面对面会议或视频会议进行，体现尊重与诚意。
- 表达清晰与尊重：
- 开场时，先表达对员工过去贡献的认可和感谢。
- 明确说明由于续聘协议即将到期，且考虑到公司业务发展需要及员工当前健康状况，经慎重考虑，公司决定不再续聘。
- 强调这一决定并非对员工个人能力的否定，而是基于多方面因素的综合考量。
- 提供后续支持：
- 说明公司将按照法律法规及合同约定，提供相应的经济补偿。
- 询问员工是否需要职业上的帮助或建议，如推荐就业机会、提供职业培训信息等。
- 表达公司愿意在员工康复后，若有机会且员工愿意，考虑再次合作的可能性。
书面确认与后续跟进：
- 沟通后，应及时向员工发送书面通知，明确不再续聘的决定、依据、经济补偿方案及后续安排，确保双方权益得到保障。
- 保持与员工的良好沟通，关注其情绪变化及需求，提供必要的心理支持或实际帮助。
总结：在处理此类敏感问题时，公司应秉持合法、合理、人性化的原则，确保决策过程透明、沟通方式得当，既维护公司利益，也体现对员工的尊重与关怀。如有任何法律疑问或需要进一步的法律指导，请随时向我咨询。