原告去世后，其继承人可以承接其权利继续申请执行，但需要提交相关证明材料。针对您提出的情况，分析如下：

一. 原告去世后的权利承接

1. 执行程序尚未开始：如果父亲作为原告，在案件的执行程序尚未开始之前就已经去世，那么他原本所享有的权利以及应承担的义务，是可以由其继承人来承接的。继承人需要提交继承证明等相关材料，以证明其继承关系以及有权参与到执行过程中。
2. 执行程序进行中：如果执行程序已经进行当中，父亲不幸离世，通常情况下应裁定执行程序终结。但如果存在其他的继承人，并且他们也愿意继续参与到执行当中，可以向法院提出申请。法院经审查同意后，可以恢复执行程序，由这些继承人作为申请执行人继续执行。

二. 特殊情况说明

• 您提到父亲在两年内去世，母亲也得了重病并在五年后去世。这些情况本身并不能直接作为申请执行的依据或理由，但它们构成了家庭背景的一部分，可能影响继承人的决定和行动。
• 如果父亲去世后，母亲作为继承人承接了权利，并在她去世前决定继续申请执行，那么她可以依据上述规定进行。如果她去世后，其他继承人（如子女）愿意继续，同样需要按照法律程序进行。

三. 结论与建议

• 结论：父亲去世后，其继承人可以依据法律规定承接其权利并继续申请执行，但需要提交相关证明材料。母亲的重病和去世情况虽然构成了家庭背景，但并不直接影响申请执行的进行。
• 建议：如果您是父亲的继承人之一，并且希望继续申请执行，请尽快收集并提交继承证明等相关材料，向法院说明情况并申请继续执行。如有进一步需要，您可以继续咨询我。