结论：单位在您刚生完孩子且孩子一岁多时不续签合同，可能涉及违法解除劳动合同的情形，您有权要求单位继续履行合同或获得相应的经济补偿。

分析：

1. 劳动合同的续签与解除：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同终止的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
   • 在您的情况下，若单位未提前与您协商续签事宜，或未提供合理的续签条件，而直接选择不续签，这可能构成违法解除劳动合同。

2. 女职工的特殊保护：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，女职工在孕期、产期、哺乳期内，用人单位不得解除劳动合同。
   • 您刚生完孩子且孩子一岁多，仍处于哺乳期，单位在此期间不续签合同，可能违反了上述对女职工的特殊保护规定。

3. 您的权利与救济途径：

   • 要求继续履行合同：若您希望继续在单位工作，可以要求单位继续履行劳动合同。
   • 要求经济补偿：若您不希望继续在单位工作，或单位拒绝继续履行合同，您可以要求单位支付经济补偿。经济补偿的标准通常按照您在单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
   • 申请劳动仲裁或提起诉讼：若与单位协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。

建议：

• 收集证据：保留与单位签订的劳动合同、工资单、工作证等证据，以证明您与单位存在劳动关系及您的工资水平。
• 与单位协商：首先尝试与单位进行友好协商，看是否能够达成续签合同的协议或获得合理的经济补偿。
• 寻求法律帮助：若协商无果，建议您及时咨询专业律师（即我本人，吴勇波律师，专注于刑事辩护、合同纠纷领域），了解具体的法律程序和维权策略，以便更好地维护自己的合法权益。

可能的法律后果：

• 若单位被认定为违法解除劳动合同，除了需要支付经济补偿外，还可能面临劳动行政部门的处罚。
• 若您通过法律途径维权并胜诉，单位不仅需要支付您应得的经济补偿，还可能承担诉讼费用等额外成本。