可以申请仲裁要求赔偿。针对您的情况，即入职后近一年才签订劳动合同，且签订后又工作了一年多，以下是从不同角度进行的法律分析：

一、法律背景

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，确保劳动合同的及时签订，从而明确双方的权利和义务。

二、法律建议

1. 申请仲裁要求未签合同期间的双倍工资：

   • 您有权向劳动仲裁机构申请仲裁，要求用人单位支付您入职后近一年（即未签订劳动合同期间）的双倍工资差额。这部分差额是您应得而未得的工资，用人单位应当予以补足。

2. 关于已签合同后的工作年限：

   • 签订劳动合同后，您又工作了一年多，这部分工作年限是受到法律保护的。如果用人单位存在违法解除劳动合同等情形，您同样有权要求用人单位支付相应的经济补偿或赔偿金。

3. 准备相关证据：

   • 在申请仲裁前，建议您收集并整理好与用人单位存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等。这些证据将有助于证明您与用人单位之间的劳动关系以及您的工作年限，从而支持您的仲裁请求。

三、可能的法律后果

• 如果劳动仲裁机构支持您的仲裁请求，用人单位将被要求支付您未签合同期间的双倍工资差额以及其他可能的经济补偿或赔偿金。
• 如果用人单位拒绝履行仲裁裁决，您还可以向人民法院申请强制执行，以维护自己的合法权益。

四、特别提醒

• 申请劳动仲裁有一定的时效限制，通常为一年，自您知道或应当知道自己的权益受到侵害之日起计算。因此，建议您尽快行动，以免错过申请仲裁的时效。
• 在申请仲裁过程中，如果遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我将根据您的具体情况，为您提供专业的法律意见和帮助。

综上所述，您有权申请仲裁要求用人单位支付未签合同期间的双倍工资差额。建议您尽快准备相关证据并申请仲裁，以维护自己的合法权益。