结论是：即使私人企业雇佣员工没有签订书面劳动协议，但按日工算、月结，仍然可能构成劳动关系。以下从不同角度为您详细分析：
一、劳动关系的认定标准
根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》等相关规定，劳动关系的认定并不完全依赖于书面劳动合同的签订。即使没有书面合同，只要用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格，且劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动，同时劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分，那么双方之间就可能构成劳动关系。
二、按日工算、月结对劳动关系的影响
报酬支付方式：按日工算、月结只是报酬支付的一种方式，它并不改变劳动关系的本质。无论报酬是按日、按月还是按其他方式支付，只要劳动者为用人单位提供了劳动，并接受了用人单位的管理，那么双方之间就可能存在劳动关系。
劳动关系与劳务关系的区别：有些人可能会认为，按日工算、月结属于劳务关系而非劳动关系。但实际上，劳务关系通常指的是临时性、一次性的工作，而劳动关系则更强调持续性和稳定性。如果劳动者长期为用人单位提供劳动，并接受了用人单位的持续管理，那么即使报酬是按日或按月支付，双方之间也更可能构成劳动关系。
三、未签订书面劳动合同的法律后果
双倍工资赔偿：根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果私人企业未与员工签订书面劳动合同，员工有权要求企业支付双倍工资。
劳动关系确认：如果双方对是否存在劳动关系发生争议，员工可以通过劳动仲裁或诉讼等途径来确认劳动关系。在确认劳动关系的过程中，法院或仲裁机构会综合考虑多种因素，如双方是否符合主体资格、劳动者是否受用人单位的劳动管理、劳动者是否从事用人单位安排的有报酬的劳动等。
四、建议与风险提示
签订书面劳动合同：为了避免不必要的法律纠纷，建议私人企业在雇佣员工时签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
保留相关证据：如果双方未签订书面劳动合同，员工应保留好与用人单位相关的证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以便在发生争议时证明劳动关系的存在。
及时咨询专业律师：如果双方对是否存在劳动关系或相关权益发生争议，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。
如果您在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。