结论是：私人公司雇佣的临时工在工作过程中意外受伤，公司是否需要承担责任，取决于具体情况，但通常情况下，公司是需要承担一定责任的。以下从不同角度进行分析：
一、劳动关系与工伤认定
劳动关系确认：
- 临时工与私人公司之间是否构成劳动关系，是判断公司是否需要承担责任的关键。根据《劳动法》和《劳动合同法》的相关规定，即使未签订书面劳动合同，只要双方存在事实上的劳动关系，临时工就享有与正式员工同等的劳动权益。
- 如果临时工与公司之间构成劳动关系，那么在工作过程中发生的意外伤害，通常会被认定为工伤。
工伤认定程序：
- 一旦发生工伤，临时工或其家属应及时向公司报告，并由公司向当地劳动保障行政部门提出工伤认定申请。
- 劳动保障行政部门会根据调查结果，作出是否认定为工伤的决定。
二、公司责任承担
工伤保险责任：
- 如果公司为临时工缴纳了工伤保险，那么根据《工伤保险条例》，临时工在工伤发生后，可以享受工伤保险待遇，包括医疗费用、伤残津贴、一次性工伤医疗补助金等。
- 在这种情况下，公司主要承担的是按照工伤保险规定缴纳保险费的义务，以及协助临时工申请工伤保险待遇的责任。
未缴纳工伤保险的责任：
- 如果公司未为临时工缴纳工伤保险，那么根据《工伤保险条例》第六十二条，公司需要按照工伤保险待遇的项目和标准支付费用。
- 这意味着，公司需要自行承担临时工因工伤产生的所有费用，包括医疗费、护理费、伤残补助金等。
过错责任：
- 除了工伤保险责任外，如果公司存在过错，如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等，导致临时工受伤，那么公司还需要承担相应的过错责任。
- 在这种情况下，临时工有权要求公司赔偿因工伤造成的全部损失，包括但不限于医疗费、误工费、残疾赔偿金等。
三、实际案例与法律建议
- 实际案例：在实际操作中，已经有多起临时工工伤案件，法院最终判决公司承担相应责任。这些案例表明，无论临时工还是正式员工，只要在工作过程中发生意外伤害，公司都有可能被要求承担责任。
- 法律建议：
- 对于公司而言，建议为所有员工（包括临时工）缴纳工伤保险，以分散工伤风险。
- 同时，公司应加强安全管理，提供安全的工作环境，进行必要的安全培训，以减少工伤事故的发生。
- 对于临时工而言，如果发生工伤，应及时向公司报告，并保留好相关证据，以便后续申请工伤认定和享受工伤保险待遇。
如果有任何关于劳动工伤的法律问题，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供详细的法律建议和帮助。