若欠条中约定了分期付款，而债务人第一期就未履行还款义务，债权人完全有权向法院提起诉讼来维护自己的合法权益。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与违约责任
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。在分期付款的欠条情境中，若债务人未能按期支付第一期款项，即构成违约，债权人有权通过诉讼途径要求债务人承担违约责任，包括支付逾期款项及可能产生的违约金、利息等。
二、起诉条件与证据准备
起诉条件：
- 原告是与本案有直接利害关系的公民、法人或其他组织。
- 有明确的被告，即欠条中的债务人。
- 有具体的诉讼请求和事实、理由，如要求债务人支付逾期款项及违约金等。
- 属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。
证据准备：
- 欠条原件：作为直接证明双方存在债权债务关系及分期付款条款的关键证据。
- 转账记录：用以佐证债务的产生及具体金额。
- 聊天记录或其他沟通记录：如短信、微信等，可进一步证明债务的存在及双方的沟通情况，特别是债务人承认欠款或表示将还款的记录。
三、诉讼时效
向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间通常为三年，自权利人知道或应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。在分期付款的情况下，每一期的诉讼时效是独立计算的。因此，债权人需确保在第一期款项逾期后的三年内提起诉讼，以保障自己的权利不受时效限制。
四、诉讼程序与可能结果
- 提交起诉状与相关证据：债权人需向有管辖权的法院提交起诉状及前述准备的证据材料。
- 法院审理与判决：法院受理案件后，将依据双方提交的证据进行审理。若认定债务人违约，法院可能会作出以下判决：
- 要求债务人继续履行分期付款义务，包括支付逾期款项及可能产生的违约金、利息等。
- 根据具体情况，也可能要求债务人一次性还清所有未付款项。
五、特别提醒
- 及时行动：一旦发现债务人未按期履行还款义务，债权人应及时采取行动，包括与债务人沟通、准备证据并考虑起诉，以避免因诉讼时效过期而丧失胜诉权。
- 专业协助：在处理此类法律事务时，债权人可能会遇到各种复杂情况。作为专业律师，我建议债权人在必要时寻求我的法律协助，以确保自己的权益得到充分保护。
综上所述，当债务人未按欠条上约定的分期付款期限履行第一期还款义务时，债权人不仅有权向法院提起诉讼，而且应积极准备证据、关注诉讼时效，并按照法定程序进行操作，以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。