当债务人未按欠条上约定的分期付款期限履行还款义务时，债权人确实完全有权向法院提起诉讼来维护自己的合法权益。以下是对此问题的详细解析：

一、法律依据与违约责任

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，如果当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定，那么应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。在分期付款的情境中，如果债务人未能按期付款，就构成了违约，债权人有权通过法律途径要求债务人承担相应的违约责任。

二、证据准备

在决定起诉之前，债权人需要精心准备一系列证据，以确保诉讼的成功率。这些关键证据包括但不限于：

1. 欠条原件：这是直接证明双方存在债权债务关系以及分期付款条款的重要证据。
2. 转账记录：用以证明债务的产生以及具体的金额。
3. 聊天记录：如短信、微信等，这些记录可以进一步证明债务的存在以及双方的沟通情况。

证据的充分性和准确性对于诉讼的胜利至关重要，因此债权人需要确保这些证据的真实性和完整性。

三、诉讼时效

债权人还需要注意诉讼时效的问题。向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间通常为三年，自权利人知道或应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。在分期付款的情况下，每一期的诉讼时效是独立计算的。因此，债权人需要确保在每一期款项逾期后的三年内提起诉讼，以保障自己的权利不受时效限制。

四、诉讼程序与法院管辖

1. 提交起诉状与相关证据：债权人需要向有管辖权的法院提交起诉状以及之前准备的证据材料。
2. 法院审理与判决：法院在受理案件后，会依据双方提交的证据进行审理，并可能作出以下判决：
   • 要求债务人继续履行分期付款义务，包括支付逾期款项以及可能产生的违约金、利息等。
   • 根据具体情况，法院也可能要求债务人一次性还清所有未付款项。

五、专业法律建议

在处理此类法律事务时，我建议债权人咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。专业律师能够根据实际情况提供针对性的策略和建议，确保债权人的权益得到充分保护。

综上所述，当债务人未按欠条上约定的分期付款期限履行还款义务时，债权人不仅有权向法院提起诉讼，而且应积极准备证据、关注诉讼时效，并按照法定程序进行操作，以维护自己的合法权益。