劳动能力鉴定后，除了劳动部门赔偿，确实有可能向公司提出赔偿，但具体能否获得赔偿以及赔偿的数额，需根据实际情况和法律规定来判断。以下是从不同角度进行的分析：
一、工伤保险赔偿与用人单位责任
工伤保险赔偿：
- 根据《工伤保险条例》，劳动者因工作遭受事故伤害或患职业病进行治疗，享受工伤医疗待遇。这包括医疗费、康复费、住院伙食补助费、交通食宿费等。
- 劳动能力鉴定后，根据伤残等级，劳动者还可以获得一次性伤残补助金、伤残津贴（针对一至四级伤残）等。
用人单位责任：
- 除了工伤保险赔偿外，如果用人单位存在过错，如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等，导致劳动者受伤，那么用人单位可能需要承担额外的赔偿责任。
- 这种赔偿责任可能包括但不限于：停工留薪期间的工资福利、护理费（如果用人单位未提供护理）、以及因用人单位过错导致的其他直接经济损失。
二、可能向公司提出赔偿的情形
用人单位未缴纳工伤保险：
- 如果用人单位未依法为劳动者缴纳工伤保险费，那么根据《工伤保险条例》第六十二条，用人单位应承担本应由工伤保险基金支付的工伤保险待遇项目。
- 在这种情况下，劳动者除了可以向劳动部门申请工伤保险待遇（由用人单位支付）外，还可以就用人单位的其他过错（如未提供安全防护等）提出额外的赔偿要求。
用人单位存在过错导致工伤：
- 如前所述，如果用人单位在工伤事故中存在过错，如违反安全规定、未提供必要的安全培训等，那么劳动者可以要求用人单位承担相应的赔偿责任。
- 这种赔偿责任可能包括因工伤导致的医疗费用（超出工伤保险支付范围的部分）、误工费、护理费、精神损害抚慰金等。
劳动合同或单位规章制度中的约定：
- 如果劳动合同或用人单位的规章制度中有关于工伤赔偿的额外约定，且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么劳动者也可以依据这些约定向用人单位提出赔偿要求。
三、建议与注意事项
收集证据：
- 在向用人单位提出赔偿要求前，劳动者应收集相关证据，如工伤认定书、劳动能力鉴定结论、医疗费用发票、误工证明等。
- 这些证据将有助于证明劳动者的损失以及用人单位的过错。
协商与调解：
- 劳动者可以尝试与用人单位进行协商或调解，以达成赔偿协议。
- 协商或调解过程中，劳动者应明确自己的诉求和依据，并听取用人单位的意见和解释。
法律途径：
- 如果协商或调解无果，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。
- 在法律程序中，劳动者应提供充分的证据来支持自己的诉求，并遵循法律程序和规定。
如果有具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况和法律规定，为你提供专业的法律建议和帮助。