结论：和私企签订劳动合同第二天辞职，即使未向劳动局报备，一般情况下劳动局并不会主动去“查出来”这一行为，但这并不意味着该行为没有法律后果或不需要遵循法定程序。
一、关于劳动合同解除的法律规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。这意味着，即使是在签订劳动合同的第二天，只要是在试用期内，劳动者也有权提前三日通知后解除劳动合同，而无需承担违约责任（除非劳动合同中有特别约定且该约定不违反法律法规的强制性规定）。
二、关于向劳动局报备的问题
报备并非法定要求：在一般情况下，劳动者解除劳动合同并不需要向劳动局进行报备。劳动局主要负责对劳动法律法规的执行情况进行监督，以及处理劳动争议等事务，而不会主动去追踪每一个劳动者的离职情况。
未报备的法律后果：由于报备并非法定要求，因此未向劳动局报备并不会直接导致法律后果。但是，如果劳动者在解除劳动合同时未遵循法定程序（如未提前通知用人单位），则可能需要承担相应的法律责任。
三、实际操作中的建议
遵循法定程序：无论是否向劳动局报备，劳动者在解除劳动合同时都应遵循法定程序，如提前通知用人单位、办理工作交接等。这有助于避免不必要的法律纠纷。
保留相关证据：劳动者在解除劳动合同时，应保留好相关证据，如辞职信、工作交接单等。这些证据在后续可能出现的劳动争议中具有重要的证明作用。
咨询专业律师：如果劳动者在解除劳动合同时遇到任何法律问题或困惑，建议及时咨询专业律师。律师可以根据具体情况提供针对性的法律建议和帮助。
四、特殊情况下的考虑
如果劳动者与用人单位之间的劳动合同中有特别约定（如关于离职的通知期限、违约金等），并且这些约定不违反法律法规的强制性规定，那么劳动者在解除劳动合同时需要遵循这些约定。否则，可能需要承担相应的违约责任。
总结：和私企签订劳动合同第二天辞职，即使未向劳动局报备，一般情况下也不会产生直接的法律后果。但为了确保自身权益并避免不必要的法律纠纷，建议劳动者在解除劳动合同时遵循法定程序，并保留好相关证据。如果有任何法律问题或困惑，可以直接向我咨询。