工厂允许父母带未成年来上班，工厂和父母均可能承担一定的法律责任，具体责任需根据未成年人的年龄、行为以及造成的后果等因素综合判断。以下从不同角度进行分析：
一、工厂的法律责任
若未成年人为童工（未满16周岁）：
- 根据《禁止使用童工规定》，任何单位或者个人不得使用童工。工厂若允许父母带未满16周岁的未成年人来上班，即构成使用童工的违法行为。
- 工厂将面临劳动保障行政部门的处罚，包括罚款、责令限期将童工送回原居住地交其父母或者其他监护人等。若造成童工死亡或者严重伤残的，工厂还可能承担刑事责任。
若未成年人为已满16周岁未满18周岁的未成年人：
- 虽然已满16周岁的未成年人可以参加工作，但工厂仍需遵守相关劳动法律法规，保障其合法权益。
- 若工厂未提供必要的劳动保护条件，或者安排未成年人从事过重、有毒、有害等危害未成年人身心健康的劳动或者危险作业，工厂将承担相应的法律责任。
若未成年人造成他人损害：
- 根据《民法典》的相关规定，无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。但若工厂未尽到安全保障义务，如未设置安全警示标志、未提供安全防护措施等，导致未成年人在工厂内造成他人损害的，工厂也可能承担一定的补充责任。
二、父母的法律责任
作为监护人的责任：
- 父母作为未成年人的监护人，有义务保护未成年人的身心健康，保障其合法权益。若父母带未成年人到工厂上班，未尽到监护职责，导致未成年人受到伤害或者造成他人损害的，父母将承担相应的法律责任。
违反劳动法律法规的责任：
- 若父母允许未满16周岁的未成年人到工厂上班，或者未满18周岁的未成年人从事过重、有毒、有害等危害未成年人身心健康的劳动或者危险作业，父母也可能因违反劳动法律法规而承担责任。不过，在实际操作中，对父母的直接处罚较为少见，更多是通过教育、劝导等方式进行纠正。
三、建议与措施
工厂应严格遵守劳动法律法规：
- 工厂应杜绝使用童工，对于已满16周岁的未成年人，应提供必要的劳动保护条件，并安排适合其年龄和身体状况的工作。
父母应履行好监护职责：
- 父母应关注未成年人的身心健康和成长需求，避免将未成年人带到工作场所等不适合其成长的环境中。
加强安全教育和培训：
- 工厂应加强对员工的安全教育和培训，提高员工的安全意识和操作技能，减少安全事故的发生。
若您或您身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供详细的法律建议。