私人教育机构不交五险一金不合法。以下是具体的分析：

一. 私人教育机构作为用人单位，有义务为员工缴纳五险一金

1. 法律依据明确：根据《中华人民共和国劳动法》第七十二条，用人单位和劳动者必须依法参加社会保险，缴纳社会保险费。这意味着，无论是公立还是私立机构，只要是用人单位，就必须为员工缴纳五险一金。
2. 五险一金的涵盖范围：根据《中华人民共和国社会保险法》的相关规定，五险一金包括基本养老保险、基本医疗保险、工伤保险、失业保险和生育保险，以及住房公积金。这些都是用人单位应当为员工缴纳的。

二. 私人教育机构不交五险一金的后果

1. 违反法律法规：如果私人教育机构不交五险一金，就违反了《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国社会保险法》的相关规定。
2. 员工权益受损：员工在退休、患病、失业等情况下，将无法享受相应的社会保险待遇，导致其权益受到严重损害。

三. 建议与措施

1. 员工应主动维权：如果私人教育机构未为员工缴纳五险一金，员工可以向当地劳动监察部门投诉，要求机构履行法定义务。
2. 机构应自觉守法：私人教育机构应当自觉遵守法律法规，为员工缴纳五险一金，保障员工的合法权益。

我建议，无论是私人教育机构还是其他类型的用人单位，都应当严格遵守法律法规，为员工缴纳五险一金。这样不仅能保障员工的合法权益，也能促进机构的长期稳定发展。如有进一步需要，您可以继续咨询我。