在同一个法人的不同公司连续签订两次固定期限劳动合同后，第三次签订劳动合同时，并不绝对必须签订无固定期限劳动合同，但在符合法定情形下，一般应当签订无固定期限劳动合同。以下是对此问题的详细分析：
一、法律规定与条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当满足以下条件之一时，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的（除非劳动者明确提出订立固定期限劳动合同），应当订立无固定期限劳动合同：
劳动者在该用人单位连续工作满十年：这一条件关注的是劳动者在同一用人单位的连续工作年限，而非与不同法人实体的签约次数。但若在同一个法人的不同公司工作，且能证明工作连续性，可能也符合此条件。不过，实践中对于“同一用人单位”的认定可能存在争议，需结合具体情况判断。
连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形：这是与用户问题最直接相关的条件。它要求劳动者在连续两次签订固定期限劳动合同后，且不存在严重违反用人单位规章制度、被依法追究刑事责任、患病或者非因工负伤在规定的医疗期满后不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作等情形时，第三次签订劳动合同时，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
二、实际操作与法律责任
合规操作：当劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，且未提出固定期限请求时，用人单位应依法与其签订无固定期限劳动合同。这既是对劳动者权益的保护，也是用人单位的法定义务。
违法责任：若用人单位违反规定拒绝订立无固定期限劳动合同，则需自应订立之日起向劳动者每月支付二倍工资作为赔偿。这一规定旨在惩罚用人单位的违法行为，并保障劳动者的合法权益。
维权途径：劳动者在面对用人单位的违法行为时，可通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。他们可以要求用人单位签订无固定期限劳动合同，并索赔因未签订无固定期限劳动合同而造成的损失。
三、特殊情况与注意事项
法人实体变更的影响：虽然用户问题中提到的是同一个法人的不同公司，但实践中对于“同一用人单位”的认定可能存在争议。如果两家公司被视为独立的法人实体，那么连续签订两次固定期限劳动合同的条件可能无法直接适用。然而，如果能够证明两家公司之间存在关联关系，且劳动者的工作具有连续性，那么可能仍然符合签订无固定期限劳动合同的条件。
劳动者选择权：即使满足签订无固定期限劳动合同的条件，劳动者也有权选择签订固定期限劳动合同。这是劳动者的自由选择权，用人单位应尊重并遵守。
用人单位告知义务：用人单位在签订劳动合同时，应依法履行告知义务，明确向劳动者说明合同类型、期限等关键信息。如果用人单位未履行告知义务，导致劳动者因误解而拒签无固定期限劳动合同，可能会产生纠纷并承担一定的法律责任。
建议：作为劳动者，在签订劳动合同时应仔细阅读合同条款，了解自己的权益和义务。如果符合签订无固定期限劳动合同的条件，且希望签订此类合同，应明确向用人单位提出要求。如果用人单位拒绝签订或存在其他违法行为，可以通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。