针对您在私人企业上班不到一个月累病了，且还没有签劳动合同的情况，以下是我为您提供的详细解答和建议：
一、劳动关系的确认
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第七条规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。这意味着，即使未签订书面劳动合同，只要存在用工事实，即构成劳动关系。
判断因素：
- 在认定是否存在劳动关系时，法院会综合考虑多个因素，包括但不限于：用人单位和劳动者是否符合法律、法规规定的主体资格；劳动者是否受用人单位管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动；劳动者提供的劳动是否是用人单位工作的组成部分。
案例参考：
- 类似您的情况，已有法院判决确认即使未签订劳动合同，但存在用工事实的情况下，劳动者与用人单位之间存在劳动关系。例如，王某在某公司工作二十天后受伤，尽管未签订劳动合同，但法院仍确认了双方之间的劳动关系。
二、未签订劳动合同的权益保障
双倍工资差额：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。虽然您的工作时间不到一个月，但如果后续继续工作且未签订合同，您有权要求用人单位支付双倍工资差额。不过，就您目前的情况而言，由于工作时间较短，可能难以直接主张双倍工资差额，但可以作为后续维权的一个参考点。
工伤认定与赔偿：
- 如果您因工作原因累病或受伤，且被认定为工伤，那么您有权享受工伤保险待遇。即使未签订劳动合同，只要存在劳动关系，您仍然可以申请工伤认定并要求赔偿。
- 您需要收集相关证据，如医疗就诊记录、费用单据、工资转账记录（如有）、考勤记录（如有）、现场照片及证人证言等，以证明您的工伤事实和劳动关系。
三、建议与行动步骤
与用人单位沟通：
- 首先，尝试与用人单位沟通，说明您的情况和诉求，要求用人单位确认劳动关系并承担相应的责任。
收集证据：
- 无论沟通结果如何，都应开始收集相关证据，以备后续维权之需。证据包括但不限于工作证、工资条、考勤记录、医疗就诊记录、费用单据、现场照片及证人证言等。
申请劳动仲裁：
- 如果与用人单位沟通无果，您可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，请求确认劳动关系并要求赔偿。劳动仲裁机构将根据您提供的证据和法律规定进行裁决。
寻求法律援助：
- 如果您对劳动仲裁结果不满意或认为自己的权益受到严重侵害，可以寻求法律援助或咨询专业律师，以进一步维护自己的合法权益。
四、预防与规范
及时签订劳动合同：
- 用人单位应及时与劳动者签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务，避免不必要的法律纠纷。
规范用工管理：
- 用人单位应规范用工管理，遵守劳动法律法规，为劳动者提供安全、健康的工作环境，保障劳动者的合法权益。
综上所述，即使您在私人企业上班不到一个月且未签订劳动合同，只要存在用工事实，您仍然与用人单位构成劳动关系，并有权享受相应的劳动权益保障。建议您按照上述步骤行动，以维护自己的合法权益。