对于事业单位工勤岗位人员酒驾判处拘役一个月且本人患有癌症的情况，是否会被开除公职，需分情况讨论：

1. 非行政机关任命且不具有公共管理事务职能的事业单位人员：

   • 根据相关规定，这类人员被判处拘役（无论是否缓刑），通常给予降低岗位等级或撤职以上处分，可以不开除公职。这意味着，即使您因酒驾被判处拘役一个月，只要不属于行政机关任命或具有公共管理事务职能的人员，单位可能不会直接开除您，而是采取其他纪律处分措施。

2. 行政机关任命或具有公共管理事务职能的事业单位人员：

   • 对于这类人员，如果被判处拘役缓刑，必须开除公职。虽然您的情况是判处拘役一个月（未提及缓刑），但若您属于此类人员，且拘役判决生效，那么根据规定，您可能会面临开除公职的风险。不过，具体是否开除还需结合单位内部规定和实际情况判断。

3. 特殊情况考虑（癌症病情）：

   • 虽然您患有癌症，但这一病情本身并不直接构成免除开除公职的法定理由。然而，在实际操作中，单位可能会考虑您的身体状况和实际工作能力，以及您对单位的贡献和过往表现，来综合决定是否开除。如果单位认为您的病情严重到无法继续履行工作职责，或者开除您会对您的生活造成过大影响，可能会倾向于采取更为人性化的处理方式。

法律建议：

• 主动沟通：建议您主动与单位人事部门或领导沟通，说明您的病情和实际情况，争取单位的理解和支持。
• 了解单位规定：详细了解单位关于员工违纪处理的内部规定，以便更好地评估自己的处境。
• 寻求法律援助：如果单位决定开除您，且您认为这一决定不合法或不合理，可以寻求法律援助，维护自己的合法权益。

可能后果：

• 如果单位决定开除您，且这一决定符合相关法律法规和单位规定，那么您可能需要接受这一结果，并考虑后续的生活和工作安排。
• 如果单位未依法处理或处理不当，您有权通过法律途径维护自己的权益。

希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何进一步的法律问题或需要更具体的建议，请随时向我咨询。