结论：私人老板在合同过期九个月未续签的情况下突然辞退员工，员工通常有权获得赔偿，包括未签合同的双倍工资差额、经济补偿金，甚至可能获得赔偿金。

分析如下：

一、未签合同的双倍工资差额

根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。计算公式为：

• 双倍工资差额 = 月工资 × 未签合同月数（最多11个月）

在您的情况下，合同已过期九个月且未续签，因此您可以主张最多九个月的双倍工资差额（假设您在这九个月内持续工作）。

二、经济补偿金

若私人老板无正当理由辞退您，根据《劳动合同法》的规定，用人单位应当按照劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。计算公式为：

• 经济补偿金 = 月工资 × 工作年限（年数，不足半年按半年算，超过半年不足一年按一年算）

三、赔偿金

如果私人老板的辞退行为被认定为违法解除劳动合同，那么除了经济补偿金外，您还有权要求用人单位按照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。计算公式为：

• 赔偿金 = 经济补偿金 × 2

四、实际操作建议

1. 收集证据：首先，您需要收集能够证明您与私人老板之间存在劳动关系的证据，如工资支付凭证、工作证、考勤记录等。

2. 协商赔偿：在收集到足够证据后，您可以先尝试与私人老板进行协商，要求其支付未签合同的双倍工资差额、经济补偿金或赔偿金。

3. 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求私人老板支付相应的赔偿。

4. 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以在法定期限内向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。

特别提醒：在实际操作中，每个案件的具体情况都有所不同，因此建议您在处理此类纠纷时，务必咨询专业律师（比如我）的意见，以确保您的权益得到最大程度的保护。如果您有任何法律问题，都可以直接向我咨询。