结论前置：
详细分析：
一、公司责任
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。劳动合同分为固定期限劳动合同、无固定期限劳动合同和以完成一定工作任务为期限的劳动合同。在您描述的情况下，您已经与公司签订了两次固定期限劳动合同，且在公司工作了10年。按照法律规定，当您与公司连续订立二次固定期限劳动合同，且您没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（即劳动者不存在过失性辞退和预告性辞退的情形），续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
如果公司在第二次劳动合同到期后，未与您签订第三次劳动合同，且未给出合理的解释或未采取补救措施（如提出签订无固定期限劳动合同），则公司很可能违反了劳动合同法的规定，需要承担相应的法律责任。这包括但不限于支付双倍工资、赔偿因未签订合同而给您造成的损失等。
二、员工责任
虽然通常情况下未签订劳动合同的责任在公司，但也不能完全排除员工存在一定责任的可能性。例如，如果员工在合同到期前明确表示不愿再续签合同，或者员工存在故意拖延、隐瞒重要信息等行为导致合同无法及时签订，那么员工可能需要承担一定的责任。然而，在您描述的情况下，并未提及您存在此类行为，因此员工责任的可能性相对较小。
三、建议与后续行动
与公司沟通：首先，建议您与公司进行沟通，了解未签订第三次劳动合同的具体原因，并尝试协商解决。如果公司愿意签订无固定期限劳动合同，那么问题将得到妥善解决。
收集证据：如果公司拒绝签订合同或无法给出合理解释，建议您收集相关证据（如工作证、工资单、前两次的劳动合同等），以证明您与公司存在劳动关系且合同未签订的事实。
申请劳动仲裁：如果沟通无果，您可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求公司承担相应的法律责任。在仲裁过程中，您需要提供充分的证据来支持您的主张。
寻求法律援助：如果您在仲裁过程中遇到困难或需要进一步的法律帮助，可以向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和支持。
四、法律后果
如果公司被认定存在未签订劳动合同的违法行为，可能需要承担以下法律后果：
支付双倍工资：根据劳动合同法的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
赔偿损失：如果因未签订合同给您造成了实际损失（如失业期间的收入损失、社保缴纳中断等），公司可能需要承担相应的赔偿责任。
行政处罚：在极端情况下，如果公司的违法行为严重影响了劳动市场的秩序或劳动者的权益，劳动行政部门还可能对公司进行行政处罚。