若用人单位随意开除员工，且该开除行为构成违法解除劳动合同，则员工有权获得经济赔偿金。以下是对此问题的详细分析：
一、判断开除是否违法
用人单位若无法定理由（如员工严重违反规章制度、严重失职等《劳动合同法》第三十九条规定的情形），随意解除与员工的劳动合同，即属于违法解除。在此情况下，员工有权要求用人单位支付赔偿金。
二、赔偿标准
赔偿金计算依据：
- 若用人单位违法解除劳动合同，需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资，包括各种奖金、津贴等货币性收入。
特殊情形下的赔偿标准：
- 若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资的三倍，经济补偿金的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且最高支付年限不超过十二年。
计算公式：
- 赔偿金 = 经济补偿 × 2
- 经济补偿 = 工作年限 × 月工资（工作年限满一年按一个月工资计算，六个月以上不满一年按一年计算，不满六个月按半个月工资计算）
三、赔偿途径
协商解决：
- 员工可首先尝试与用人单位协商，要求其支付赔偿金。这是最为直接和高效的解决方式。
劳动监察投诉：
- 若协商不成，员工可向当地劳动监察部门投诉，由其调查处理并责令用人单位支付赔偿金。劳动监察部门具有行政执法权，能够有效地维护员工的合法权益。
劳动仲裁：
- 员工还可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据（如劳动合同、工资条、工作证、开除通知等）以证明劳动关系及用人单位违法解除的事实。仲裁裁决具有法律效力，若用人单位不履行仲裁裁决，员工可向人民法院申请强制执行。
诉讼：
- 对仲裁结果不满意时，员工可在规定期限内向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护权益。诉讼是维护员工合法权益的最后一道防线，具有最高的法律效力。
四、注意事项
- 在整个过程中，员工应保留好相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、开除通知等，以便在协商、投诉、仲裁或诉讼过程中证明自己的权益。
- 员工应了解自己的合法权益，根据工作年限和月工资水平计算应得的赔偿金，避免因不了解法律规定而遭受损失。
总结：面对用人单位随意开除的情况，员工应了解自己的合法权益，根据工作年限和月工资水平计算应得的赔偿金，并通过协商、投诉、仲裁或诉讼等途径来维护自己的合法权益。在整个过程中，保留好相关证据是至关重要的。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。