结论前置：公司随便开除员工且不给予赔偿的行为，是否合法以及员工应如何维权，主要取决于公司开除的具体原因和是否符合相关法律法规的规定。以下是对此问题的详细分析：

一、公司合法开除员工无需赔偿的情况

根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，公司在以下情况下可以解除劳动合同且无需支付任何赔偿或补偿：

1. 试用期间不符合录用条件：若员工在试用期内被证明不符合录用条件，公司有权解除劳动合同。但需注意，公司需有明确的录用条件和考核标准，并能提供证据证明员工不符合这些条件。
2. 严重违反规章制度：员工如多次旷工、在工作场所打架斗殴等，且这些行为明确违反了公司规章制度中可解除劳动合同的条款，公司可依法开除员工。
3. 严重失职或营私舞弊：若员工因故意或重大过失导致公司遭受重大经济损失，公司有权解除劳动合同。
4. 与其他单位建立劳动关系：员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或经公司提出后拒不改正的，公司可解除劳动合同。
5. 劳动合同无效：因特定情形（如欺诈、胁迫等）导致的劳动合同无效，公司可解除劳动合同。
6. 被追究刑事责任：员工如因犯罪行为被人民法院判处刑罚，公司可解除与其的劳动合同。

分析：如果公司开除员工是基于上述合法理由，那么员工要求赔偿的诉求可能无法得到法律支持。但员工仍有权要求公司出具书面的解除劳动合同通知，并了解具体的开除原因。

二、公司违法开除员工需要赔偿的情况

如果公司没有合法的理由或未遵循法定的程序开除员工，即属于违法解除劳动合同。在这种情况下，员工可以要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍。

经济补偿的计算方法：

• 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
• 劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
• 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

赔偿金计算：赔偿金 = 经济补偿 × 2

分析：如果公司违法开除员工，员工不仅可以要求公司支付赔偿金，还可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

三、员工应如何维权

1. 与公司协商：首先，员工可以尝试与公司进行协商，了解开除的具体原因，并争取合理的赔偿。
2. 申请劳动仲裁：如果协商无果，员工可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付赔偿金或经济补偿。
3. 提起诉讼：如果劳动仲裁结果不满意，员工还可以向法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的权益。
4. 向劳动监察部门投诉：员工还可以向当地的劳动监察部门投诉公司的违法行为，劳动监察部门会依法进行调查处理。

建议：在维权过程中，员工应充分准备相关证据，如劳动合同、工资单、开除通知等，以证明自己的权益受到侵害。同时，员工也应了解相关的法律法规和赔偿标准，以便更好地维护自己的合法权益。

综上所述，公司随便开除员工且不给予赔偿的行为是否合法，取决于开除的具体原因和是否符合相关法律法规的规定。如果公司违法开除员工，员工有权要求公司支付赔偿金，并通过协商、劳动仲裁、诉讼或向劳动监察部门投诉等途径来维护自己的权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。