当合同到期时，公司提出让您续签到与其相关联的第三方公司，这实际上涉及到了劳动合同主体的变更。针对这种情况，以下是一些详细的建议，帮助您更好地理解和处理这个问题：

一、了解法律要求

首先，您需要明确的是，根据劳动法的规定，公司在变更劳动合同主体（即让您从原公司转签至第三方公司）时，必须与您进行充分的协商，并达成一致意见。如果公司未经您的同意就强行变更，这是违法的行为，您有权拒绝并维护自己的合法权益。

二、评估新合同条款

如果您同意转签至第三方公司，那么您需要仔细评估新合同的条款。特别是薪资待遇、工作岗位、工作内容以及劳动保护等关键条款，最好能与原合同保持一致，或者比原合同更有利。这是为了确保您的权益不会因为合同主体的变更而受到损害。

三、关注经济补偿金

在转签过程中，原公司可能需要根据法律规定向您支付经济补偿金。这取决于转签的实际操作方式以及相关的协商结果。因此，在与公司协商时，您可以询问并了解关于经济补偿金的具体情况。

四、要求书面保障措施

为了确保您的权益在转签过程中得到充分保障，您有权要求公司用书面形式明确转签对您权益的保障措施。例如，您可以要求公司确认您的工龄是否能够连续计算，以及在新公司中的其他权益是否能够得到妥善保障。

五、维护合法权益的途径

如果在转签过程中产生了争议，您完全有权向劳动仲裁机构提起仲裁。劳动仲裁机构是专门处理劳动争议的机构，他们能够根据相关法律法规和事实情况，为您的权益提供公正的裁决。

六、具体操作建议

1. 与公司沟通：首先，与公司进行坦诚的沟通，了解转签的具体原因、新公司的基本情况以及转签后的权益保障措施。
2. 咨询专业人士：如果可能的话，您可以咨询劳动法律师或专业人士，以获取更专业的建议和指导。
3. 谨慎签署新合同：在签署新合同之前，务必仔细阅读合同条款，并确保所有条款都符合您的期望和利益。
4. 保留证据：在整个过程中，保留好所有与转签相关的证据，如沟通记录、合同草案等，以备不时之需。

综上所述，当合同到期公司提出让您续签到相关联的第三方公司时，您需要谨慎处理，确保自己的权益得到充分保障。通过了解法律要求、评估新合同条款、关注经济补偿金、要求书面保障措施以及维护合法权益的途径，您能够更好地应对这种情况。