刑事案件可以一边申诉一边申请检察监督。以下是对此问题的详细分析：

一. 申诉与检察监督的法律依据

1. 申诉的法律依据

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百五十二条，当事人及其法定代理人、近亲属，对已经发生法律效力的判决、裁定，可以向人民法院或者人民检察院提出申诉，但不能停止判决、裁定的执行。

2. 检察监督的法律依据

   • 我国《宪法》第一百二十九条及《刑事诉讼法》第八条均明确规定，人民检察院是国家的法律监督机关，依法对刑事诉讼实行法律监督。这包括了对侦查、审判、执行等各个环节的监督。

二. 申诉与检察监督的并行性

1. 申诉与检察监督的目的不冲突

   • 申诉是当事人对已经发生法律效力的判决、裁定认为存在错误而寻求法律救济的一种途径。
   • 检察监督则是检察机关对刑事诉讼活动是否合法进行监督的一种职能。
   • 二者在目的上都是为了确保刑事诉讼的公正性和合法性，因此并不冲突。

2. 实际操作中的并行性

   • 在实际操作中，当事人可以同时向人民法院提出申诉，并向人民检察院申请检察监督。
   • 检察机关在收到检察监督申请后，会依法对相关诉讼活动进行审查，若发现存在违法行为或错误判决，有权向人民法院提出纠正意见或抗诉。

三. 注意事项

1. 申诉与检察监督的程序可能有所不同

   • 申诉和检察监督虽然可以并行，但它们的程序和要求可能有所不同。
   • 当事人需要按照各自的规定提交相应的材料和证据，并遵循相应的审查流程。

2. 申诉与检察监督的效果可能相互影响

   • 申诉和检察监督的进展和结果可能会相互影响。
   • 例如，检察机关的检察监督可能会为当事人的申诉提供有力的支持，而当事人的申诉也可能为检察机关发现审判错误提供线索。

我的观点：在刑事案件中，当事人完全可以一边申诉一边申请检察监督。但需要注意的是，要分别按照申诉和检察监督的程序和要求进行，并密切关注两者的进展和结果，以确保自身权益得到有效保障。如有进一步需要，您可以继续咨询我。