在不服一审判决提起上诉的同时，一般不可以直接申请检察监督，但在特定情形下可考虑相关救济途径。具体分析如下：

1. 上诉与检察监督的常规关系
   根据我国《民事诉讼法》《刑事诉讼法》及《人民检察院民事诉讼监督规则》等规定，检察监督（如抗诉、检察建议）通常针对已生效的判决、裁定。若一审判决尚未生效（即当事人已提起上诉，案件进入二审程序），此时判决不具有终局性，检察机关一般不会直接介入监督。上诉是当事人通过二审法院寻求救济的法定途径，而检察监督是二审程序外的补充性救济手段，二者在程序上具有先后顺序。

2. 例外情形：涉及严重程序违法或损害国家利益、社会公共利益
   若一审判决存在《民事诉讼法》第207条规定的严重程序违法情形（如审判人员贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判，或剥夺当事人辩论权利等），且该违法情形可能影响案件公正判决，当事人可在上诉的同时向检察机关申请监督。但需注意：

   • 检察机关是否受理需结合具体证据判断；
     
   • 即使受理，检察机关也可能建议当事人先通过二审程序解决，而非直接启动监督程序。
     此外，若案件涉及国家利益、社会公共利益（如环境污染、消费者权益保护等），当事人可依据《民事诉讼法》第58条向检察机关申请支持起诉或监督，但此类情形与“不服一审判决”的直接关联性较弱，需结合案件性质综合判断。

3. 实务建议

   • 优先通过上诉解决：若对一审判决不服，应首先在法定期限内（15日）提起上诉，通过二审法院全面审查事实与法律问题，这是最直接、高效的救济途径。
     
   • 同步准备检察监督材料（如有必要）：若发现一审存在严重程序违法或二审可能无法纠正的实质错误，可同步收集证据（如庭审记录、裁判文书等），向同级或上级检察机关申请监督，但需做好检察机关暂不受理的准备。
     
   • 关注二审结果后行动：若二审维持原判或改判后仍不服，可在判决生效后6个月内向检察机关申请监督，此时检察机关受理的可能性更高。

总结：上诉与检察监督在程序上通常不并行，但特殊情形下可尝试同步申请。建议优先通过上诉寻求救济，同时根据案件具体情况评估是否需要向检察机关反映问题。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体案件的操作方案。