当员工在病休期间劳动合同到期时，处理方式需要严格遵循《劳动合同法》及相关规定，以确保员工的合法权益得到充分保障。以下是对这一问题的详细解答：

一、合同期限自动延续

根据《劳动合同法》第四十五条的规定，劳动合同期满时，若劳动者正处于患病或非因工负伤的医疗期内，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。这意味着，如果员工的劳动合同在病假期间到期，且该员工仍处于法定医疗期内，合同并不会立即终止，而是会自动延续到医疗期结束或员工康复能够返回工作岗位之时。

二、延续情形消失后的处理

1. 单位终止合同：

   • 当医疗期结束后，劳动合同延续的情形消失，用人单位可以选择终止劳动合同。但在此情况下，用人单位需按照《劳动合同法》第四十七条的规定支付经济补偿。经济补偿的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

2. 双方续签合同：

   • 医疗期结束后，用人单位与劳动者双方也可以协商一致续签劳动合同。如果用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者不同意续订的，用人单位则无需支付经济补偿。

三、特殊情况处理

如果劳动者在医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。同时，需按照上述经济补偿规定支付经济补偿。

四、宽限期考虑

即使员工的医疗期已经届满，但因其仍在病假中无法返岗工作，用人单位应当考虑给予一定的宽限期，以便员工有时间进行康复和重新找工作。在这个宽限期内，用人单位同样应当继续履行劳动合同，支付相应的工资和福利待遇。

五、沟通协商与避免纠纷

用人单位在处理此类情况时，应当积极与员工沟通协商，合理安排合同续延和后续工作安排，以避免因此产生不必要的法律纠纷和经济损失。

综上所述，病假期间合同到期的处理方式应严格遵循法律法规的规定，确保员工的合法权益得到充分保障。用人单位在处理此类情况时，应谨慎、合法、合理地进行操作，并积极与员工沟通协商，以达成双方都能接受的解决方案。