针对农业银行员工未按规定履行请休假手续擅自离岗的问题，处理方式应依据农业银行内部的相关规章制度以及国家法律法规进行。以下是具体的处理建议：

1. 依据内部规章制度处理：

   • 农业银行应首先依据其内部制定的员工手册、考勤制度等相关规定，对擅自离岗的员工进行初步处理。这可能包括但不限于警告、罚款、扣除绩效工资等措施。
   • 内部规章制度应明确规定请休假的流程、审批权限以及擅自离岗的后果，确保员工对规定有清晰的认识。

2. 根据情节严重程度采取进一步措施：

   • 对于情节较轻的擅自离岗行为，如员工事后能够及时补办手续并说明原因，且未对工作造成严重影响，银行可考虑给予较轻的处罚或警告。
   • 对于情节严重、多次擅自离岗或对工作造成重大影响的员工，银行应依据内部规定进行更严厉的处罚，如停职检查、解除劳动合同等。

3. 遵循国家法律法规：

   • 在处理擅自离岗员工时，农业银行应确保其行为符合国家法律法规的要求，避免侵犯员工的合法权益。
   • 如员工对处理结果有异议，可依法向劳动争议仲裁委员会或人民法院提起申诉或诉讼，银行应做好相应的应对准备。

4. 加强员工教育与培训：

   • 农业银行应定期组织员工进行规章制度和法律法规的培训，提高员工的法律意识和纪律意识。
   • 通过案例分析、警示教育等方式，让员工深刻认识到擅自离岗的严重性和后果。

5. 完善内部管理制度：

   • 农业银行应不断完善内部管理制度，明确请休假的流程、审批权限以及监督机制，确保制度的执行力和有效性。
   • 定期对内部管理制度进行审查和更新，以适应法律法规的变化和银行发展的需要。

综上所述，农业银行在处理员工未按规定履行请休假手续擅自离岗的问题时，应依据内部规章制度和国家法律法规进行，同时加强员工教育与培训，完善内部管理制度。如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。