当顾客在餐厅用餐后患上急性肠胃炎，他们有权要求餐厅进行赔偿。赔偿的过程和具体内容可以依据以下步骤和法律规定来进行：
一、与商家协商
首先，顾客应保留好相关证据，如剩余食物、消费凭证（如发票、收据）、医疗诊断证明等，并尽快与商家取得联系，说明自己的情况，要求商家承担相应的赔偿责任。在协商过程中，双方应就赔偿金额、方式等进行友好协商，争取达成一个双方都能接受的解决方案。
二、赔偿内容
如果协商成功，赔偿内容通常可能包括以下几个方面：
医疗费用：包括因治疗急性肠胃炎而产生的挂号费、检查费（如血常规、便常规等）、药品费、住院费等实际支出。
误工费：如果患者因患病无法正常工作，导致收入减少，可以要求赔偿误工费。误工费的计算通常根据患者的实际工资收入和误工时间来确定。
护理费：若患者在治疗期间需要专人护理，产生的护理费用也应得到赔偿。护理费可根据护理人员的收入情况或当地护工从事同等级别护理的劳务报酬标准来计算。
交通费：患者及其必要的陪护人员因就医或转院治疗实际发生的交通费用，如打车费、公交车费等，可凭票据要求赔偿。
住院伙食补助费：如果患者住院治疗，可以按照当地国家机关一般工作人员的出差伙食补助标准来计算住院伙食补助费。
营养费：根据患者的伤情和医生的建议，可能需要额外补充营养，由此产生的合理费用可以要求赔偿。
精神损害抚慰金（如适用）：如果急性肠胃炎给患者带来了严重的精神痛苦，患者可以要求赔偿精神损害抚慰金，但这一部分的数额通常由法院根据实际情况酌情判定。
三、法律依据
如果协商无果，顾客可以依据《中华人民共和国食品安全法》的相关规定来维护自己的权益。根据该法第一百四十八条，消费者因不符合食品安全标准的食品受到损害的，可以向经营者要求赔偿损失，也可以向生产者要求赔偿损失。接到消费者赔偿要求的生产经营者，应当实行首负责任制，先行赔付，不得推诿。生产不符合食品安全标准的食品或者经营明知是不符合食品安全标准的食品，消费者除要求赔偿损失外，还可以向生产者或者经营者要求支付价款十倍或者损失三倍的赔偿金；增加赔偿的金额不足一千元的，为一千元。
四、维权途径
向相关部门投诉：顾客可以向当地的食品药品监督管理部门或消费者协会投诉商家的食品安全问题。这些部门会对商家进行调查处理，并根据调查结果采取相应的措施。
法律诉讼：如果通过协商和投诉都无法解决问题，顾客可以选择向法院提起诉讼。在起诉前，需要准备好充分的证据来支持自己的诉讼请求。法院将根据法律规定和事实情况进行审理和判决。
综上所述，当顾客在餐厅用餐后患上急性肠胃炎时，他们可以通过与商家协商、向相关部门投诉或提起诉讼等方式来要求赔偿。在赔偿过程中，应明确赔偿内容并依据相关法律规定来维护自己的合法权益。