关于“工作期间私自外出死亡”这一问题，其是否构成工伤并享受相应的工伤赔偿，需要依据具体情况和法律规定来综合判断。

结论前置：工作期间私自外出死亡，在一般情况下不被认定为工伤，但也存在特殊情形可能被视为工伤。

具体分析：

1. 一般情况：

   • 根据《工伤保险条例》的相关规定，工伤认定的核心在于伤害是否与工作有关。如果职工在工作期间私自外出，且这一行为与工作没有直接关联，那么在此期间发生的死亡事故一般不能认定为工伤。

2. 特殊情况：

   • 尽管一般情况下不算工伤，但也存在一些特殊情形。例如，职工在外出期间见义勇为或参与抢险救灾等维护国家利益、公共利益的活动，并因此受到伤害甚至死亡，根据《工伤保险条例》第十五条的规定，可以视同工伤。
   • 另外，如果职工虽然是以私事为由外出，但实际上是为了完成工作任务或执行上级指示，且这一行为与工作有直接关系，并且在外出期间受到伤害甚至导致死亡，也有可能被认定为工伤。但这需要具体情况具体分析，并提供充分的证据来支持。

处理建议：

• 在遇到此类问题时，建议用人单位或职工家属及时向当地的社会保险行政部门提出工伤认定申请，由其依法作出认定结论。
• 同时，为了更准确地了解自身权益和可能的法律后果，建议咨询专业的律师以获取更详细的法律意见和帮助。

总之，工作期间私自外出死亡是否算工伤，需要根据具体的情况、相关证据以及法律法规进行综合评估。