公立医院的护士未婚生育不会被开除。以下是对此问题的详细分析：
法律法规依据：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第三条，劳动者享有平等就业和选择职业的权利、取得劳动报酬的权利、休息休假的权利、获得劳动安全卫生保护的权利、接受职业技能培训的权利、享受社会保险和福利的权利、提请劳动争议处理的权利以及法律规定的其他劳动权利。未婚生育并不违反上述任何一项权利或义务，因此不能作为开除的理由。
- 同时，《中华人民共和国妇女权益保障法》也明确规定了妇女在就业、劳动报酬、职业安全卫生等方面享有与男子平等的权利，且特别强调了妇女在孕期、产期、哺乳期受特殊保护，任何单位不得因结婚、怀孕、产假、哺乳等情形，降低女职工的工资，辞退女职工，单方解除劳动（聘用）合同或者服务协议。虽然未婚生育与已婚生育在婚姻状况上有所不同，但法律并未将未婚生育作为开除女职工的合法理由。
医院管理规定：
- 公立医院作为事业单位，其人事管理通常遵循国家相关法律法规及政策规定。在没有明确的法律法规依据的情况下，医院不能随意开除员工。
- 此外，医院的管理规定也应当遵循公平、公正、合理的原则，不得侵犯员工的合法权益。因此，即使医院内部有相关规定，也应当符合法律法规的要求，不能违反法律原则。
实际情况分析：
- 在实际工作中，公立医院通常会根据员工的实际工作表现、工作态度、业务能力等因素进行综合评价，并据此作出是否续聘或开除的决定。未婚生育本身并不直接影响员工的工作表现或业务能力，因此不能作为开除的直接理由。
- 当然，如果员工因未婚生育而违反了医院的其他相关规定（如请假制度、工作纪律等），且情节严重到足以构成开除的条件，那么医院有权根据相关规定进行处理。但这种处理应当是基于员工的具体行为而非单纯的未婚生育事实。
综上所述，公立医院的护士未婚生育不会被开除。如果在实际工作中遇到相关问题或争议，建议及时与医院人事部门沟通并寻求法律援助。