不可以让老板在没有合同交易记录的情况下开票做贸易。

从法律角度来看，开具发票应当基于真实的交易关系和合同内容。如果在没有合同交易记录的情况下开具发票，可能会构成虚开发票的行为，这是违反法律法规的。虚开发票不仅可能导致税务风险，还可能引发一系列的法律后果，包括但不限于税务处罚、刑事责任等。

作为公司的发票领购人，你有责任确保开具的发票是真实、合法、有效的。如果老板要求你在没有合同交易记录的情况下开票，你应当明确拒绝，并向老板解释相关的法律法规和风险。如果老板坚持要求你这样做，你可以考虑向公司的法务部门或相关监管部门寻求帮助和咨询。

总之，开具发票必须基于真实的交易关系和合同内容，不能为了迎合老板的要求而违反法律法规。作为员工，你有责任遵守法律法规，保护自己和公司的合法权益。