事业单位人员通常不可随意申请不上班，但特定情况下可依法申请病假、事假或享受带薪年休假等。下面我根据相关法律法规为你详细分析：

一. 病假

1. 法律依据：《劳动部、国务院经贸办、卫生部、国家工商行政管理局、中华全国总工会关于加强企业伤病长休职工管理工作的通知》第二条规定，要坚持和完善企业伤病职工的休假和复工制度。职工因伤病需要休假的，应凭企业医疗机构或指定医院开具的疾病诊断证明，并由企业审核批准。
2. 适用情况：当事业单位人员因患病或非因工负伤，需要停止工作进行医疗时，可根据实际情况申请病假。

二. 事假

1. 一般规定：事业单位人员因个人事务需要处理的，可申请事假。事假的具体审批流程和时长可能由单位内部规章制度规定。
2. 注意事项：事假期间，单位通常不支付工资，且事假时长可能受到一定限制。

三. 带薪年休假

1. 法律依据：《职工带薪年休假条例》第二条规定，机关、团体、企业、事业单位、民办非企业单位、有雇工的个体工商户等单位的职工连续工作1年以上的，享受带薪年休假（以下简称年休假）。
2. 适用条件：事业单位人员连续工作1年以上，且未出现法规规定的不得享受年休假的情形，如累计工作满1年不满10年的职工，请病假累计2个月以上的等。
3. 休假时长：根据职工累计工作年限确定，如累计工作已满1年不满10年的，年休假5天；已满10年不满20年的，年休假10天；已满20年的，年休假15天。

四. 其他特殊情况 如女性职工在孕期、产期、哺乳期等特定时期，可能享有特殊的休假权益，具体依据相关法律法规和单位规定执行。

我建议：事业单位人员应严格遵守单位的规章制度和国家的法律法规，在确需请假时，应按照规定的程序提前申请，并尽可能提供相关的证明材料。如有进一步需要，您可以继续咨询我。