你应当立即报警，并保留相关证据，以维护自己的合法权益。针对这一问题，我们可以从以下几个方面进行分析：

一. 行为的性质

1. 敲诈勒索的定义：敲诈勒索是指以非法占有为目的，对被害人使用实施恐吓、威胁或要挟的方法，非法占用被害人公私财物，从而构成犯罪。在此情况下，丢手机的人以你捡到其手机为由，敲诈你一千多块钱，其行为可能构成敲诈勒索。

2. 你的权益：你捡到手机并无意非法占有，而是出于好意或疏忽未能及时归还。在此情况下，你并不构成犯罪，且有权拒绝丢手机人的无理要求。

二. 应对措施

1. 立即报警：面对敲诈勒索行为，你应当立即向当地公安机关报案，说明情况，并提供相关证据，如聊天记录、转账记录等，以便警方能够迅速展开调查。

2. 保留证据：在报警之前，务必保留好所有与敲诈勒索行为相关的证据。这些证据将有助于警方查明事实，维护你的合法权益。

3. 配合调查：在警方展开调查的过程中，你应当积极配合，提供所需的信息和协助。这将有助于警方更快地破案，并追回你的损失。

三. 法律后果

1. 对敲诈勒索者的处罚：如果丢手机的人的行为被认定为敲诈勒索罪，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，其将面临相应的刑事处罚，如拘役、有期徒刑等。

2. 你的权益保护：在警方查明事实后，你将有权要求敲诈勒索者返还你被迫支付的款项，并可能获得相应的赔偿。

我建议：在面对此类情况时，务必保持冷静，不要因害怕或恐慌而轻易屈服于敲诈勒索者的要求。及时报警并保留证据是维护自己合法权益的关键。如有进一步需要，您可以继续咨询我。