未成年人市场卖艺挣钱行为主要由民政部门、人力资源和社会保障部门，以及公安机关等部门共同管理。具体来说：
民政部门：根据《中华人民共和国未成年人保护法》的相关规定，民政部门有责任对流浪乞讨、离家出走等生活无着的未成年人进行救助，并为其提供必要的生活、教育、医疗等保障。如果未成年人在市场卖艺是出于生活所迫或受到他人胁迫，民政部门应当介入并提供相应的救助和保护。
人力资源和社会保障部门：该部门负责监管劳动市场，防止未成年人被非法雇佣或从事不适合其年龄、身心健康的劳动。虽然卖艺可能不完全等同于传统意义上的“劳动”，但如果涉及未成年人被雇佣或以营利为目的进行卖艺活动，人力资源和社会保障部门有权进行调查和处理。
公安机关：公安机关负责维护社会治安，打击违法犯罪行为。如果未成年人在市场卖艺过程中遭受虐待、剥削或存在其他违法犯罪行为，公安机关应当介入调查，并依法追究相关责任人的法律责任。
综上所述，未成年人市场卖艺挣钱行为涉及多个部门的管理职责。各部门应密切协作，共同保护未成年人的合法权益，确保他们能够在安全、健康的环境中成长。如果你或你身边的人遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会提供专业的法律建议和支持。